1.3全稱(chēng)量詞與存在量詞（一）量詞

[教學(xué)目標(biāo)]

三、師生探究

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

C組：

1、∥  ，

   

2、 (1)  ．

==

∵，∴，∴．

∴_max=．

(2)由已知，得 ．

=

=． 

1.3全稱(chēng)量詞與存在量詞（二）量詞否定

教學(xué)目標(biāo)：利用日常生活中的例子和數(shù)學(xué)的命題介紹對(duì)量詞命題的否定，使學(xué)生進(jìn)一步理解全稱(chēng)量詞、存在量詞的作用.

教學(xué)重點(diǎn)：全稱(chēng)量詞與存在量詞命題間的轉(zhuǎn)化；

教學(xué)難點(diǎn)：隱蔽性否定命題的確定；

課    型：新授課

教學(xué)手段：多媒體

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情境

數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個(gè)”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個(gè)”、“至少有一個(gè)”等的詞語(yǔ)，在邏輯中分別稱(chēng)為全稱(chēng)量詞與存在性量詞（用符號(hào)分別記為“ ”與“”來(lái)表示）；由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱(chēng)為全稱(chēng)命題與存在性命題。在全稱(chēng)命題與存在性命題的邏輯關(guān)系中，都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結(jié)所在。

二、活動(dòng)嘗試

問(wèn)題1：指出下列命題的形式，寫(xiě)出下列命題的否定。

（1）所有的矩形都是平行四邊形；

（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；

（3）"xÎR，x²-2x+1≥0

分析：（1）"，否定：存在一個(gè)矩形不是平行四邊形；

（2），否定：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)；

（3），否定：$xÎR，x²-2x+1<0；

這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？

結(jié)論：從命題形式上看，這三個(gè)全稱(chēng)命題的否定都變成了存在性命題.

三、師生探究$

問(wèn)題2：寫(xiě)出命題的否定

（1）p：$ x∈R，x²＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等邊三角形；

（3）p：存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分；

分析：（1）" xÎR，x²＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等邊三角形；

（3）對(duì)于所有的四邊形，它的對(duì)角線(xiàn)不可能互相垂直或平分；

從集合的運(yùn)算觀(guān)點(diǎn)剖析：,

四、數(shù)學(xué)理論

1.全稱(chēng)命題、存在性命題的否定

一般地，全稱(chēng)命題P：" xÎM,有P（x）成立；其否定命題┓P為：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命題P：$xÎM，使P（x）成立；其否定命題┓P為：" xÎM,有P（x）不成立。

用符號(hào)語(yǔ)言表示：

P:"ÎM, p(x）否定為Ø P: $ÎM, Ø P（x）

P:$ÎM, p(x）否定為Ø P: "ÎM, Ø P（x）

在具體操作中就是從命題P把全稱(chēng)性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱(chēng)性的量詞，并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則：否定全稱(chēng)得存在，否定存在得全稱(chēng)，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.關(guān)鍵量詞的否定

詞語(yǔ)

是

一定是

都是

大于

小于

且

詞語(yǔ)的否定

不是

不一定是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

詞語(yǔ)

必有一個(gè)

至少有n個(gè)

至多有一個(gè)

所有x成立

所有x不成立

 

詞語(yǔ)的否定

一個(gè)也沒(méi)有

至多有n-1個(gè)

至少有兩個(gè)

存在一個(gè)x不成立

存在有一個(gè)成立

 

否定一個(gè)命題常常堅(jiān)持三點(diǎn)互換：任意與存在互換，肯定與否定互換、或者與并且互換

五、鞏固運(yùn)用

例1  寫(xiě)出下列全稱(chēng)命題的否定：

（1）p：所有人都晨練；（2）p："xÎR，x²＋x+1>0；

（3）p：平行四邊形的對(duì)邊相等；（4）p：$ x∈R，x²－x+1＝0；

分析：（1）Ø P：有的人不晨練；（2）$ x∈R，x²＋x+1≤0；（3）存在平行四邊形，它的的對(duì)邊不相等；（4）"xÎR，x²－x+1≠0；

例2 寫(xiě)出下列命題的否定。

（1） 所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。 （2） 任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根。

（3） 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使x+y＞0. （4） 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。

解：（1）的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。

（2）的否定：存在實(shí)數(shù)x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在實(shí)數(shù)x,對(duì)所有實(shí)數(shù)y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。

解題中會(huì)遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡(jiǎn)化形式，如“若x＞3，則x²＞9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡(jiǎn)單命題處理；這種情形下時(shí)應(yīng)先將命題寫(xiě)成完整形式，再依據(jù)法則來(lái)寫(xiě)出其否定形式。

例3 寫(xiě)出下列命題的否定。

（1） 若x²＞4 則x＞2.。

（2） 若m≥0,則x²+x-m=0有實(shí)數(shù)根。

（3） 可以被5整除的整數(shù)，末位是0。

（4） 被8整除的數(shù)能被4整除。

（5） 若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等。
解（1）否定：存在實(shí)數(shù)，雖然滿(mǎn)足＞4，但≤2。或者說(shuō)：存在小于或等于2的數(shù)，滿(mǎn)足＞4。（完整表達(dá)為對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, 若x²＞4 則x＞2）

（2）否定：雖然實(shí)數(shù)m≥0,但存在一個(gè)，使+ -m=0無(wú)實(shí)數(shù)根。（原意表達(dá)：對(duì)任意實(shí)數(shù)m,若m≥0,則x²+x-m=0有實(shí)數(shù)根。）

（3）否定：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。

（4）否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)

（5）否定：存在一個(gè)四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達(dá)為無(wú)論哪個(gè)四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）

例4 寫(xiě)出下列命題的否命題與否命題，并判斷其真假性�！�

（1）p：若x＞y,則5x＞5y；

（2）p：若x²+x?2,則x²-x?2；

（3）p：正方形的四條邊相等；

（4）p：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x²+ax+b≤0有非空實(shí)解集，則a²-4b≥0。

解：（1）Ø P：若存在x＞y，則5x≤5y； 假命題

　　    否命題：若x≤y，則5x≤5y；真命題

（2）Ø P：若存在x,滿(mǎn)足x²+x?2，則x²-x≥2；真命題

　　    否命題：若x²+x≥2，則x²-x≥2）；假命題。

　 （3）Ø P：存在一個(gè)四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。　　

否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。

（4）Ø P：存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，雖然滿(mǎn)足x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，但使a²-4b?0。假命題。

　　否命題：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0沒(méi)有非空實(shí)解集，則a²-4b?0。真命題。

評(píng)注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：

1．任何命題均有否定，無(wú)論是真命題還是假命題；而否命題僅針對(duì)命題“若P則q”提出來(lái)的。

2．命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。

3． 原命題“若P則q” 的形式，它的非命題“若p，則Øq”；而它的否命題為 “若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結(jié)論。

六、回顧反思

在教學(xué)中，務(wù)必理清各類(lèi)型命題形式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)關(guān)系，才能真正準(zhǔn)確地完整地表達(dá)出命題的否定，才能避犯邏輯性錯(cuò)誤，才能更好把邏輯知識(shí)負(fù)載于其它知識(shí)之上，達(dá)到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

七、課后練習(xí)

A組

1．命題p：存在實(shí)數(shù)m，使方程x²＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則“非p”形式的命題是（      ）

A.存在實(shí)數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)根；

B.不存在實(shí)數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實(shí)根；

C.對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實(shí)根；

D.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實(shí)根；

2．有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)椋?nbsp;   ）

A．大前提錯(cuò)誤    B．小前提錯(cuò)誤      C．推理形式錯(cuò)誤   D．非以上錯(cuò)誤              

3．命題“"xÎR，x²-x+3>0”的否定是                     

4．“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的

否定形式是                                     

否命題是                                       

5．寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷其真假：

（1）p："m∈R，方程x²+x-m=0必有實(shí)根；

（2）q：$ÎR，使得x²+x+1≤0；

B組

6．寫(xiě)出下列命題的“非P”命題，并判斷其真假：

（1）若m>1，則方程x²-2x+m=0有實(shí)數(shù)根．

（2）平方和為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)都為0．

（3）若是銳角三角形， 則的任何一個(gè)內(nèi)角是銳角．

（4）若abc=0，則a,b,c中至少有一為0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，則x≠1,x≠2．

書(shū)P16習(xí)題上Ex3、4

C組

1、已知、、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，，

（1）若，求角的值；（2）若，求的值。

2、設(shè)平面內(nèi)的向量點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)取最小值時(shí)，的坐標(biāo)及的余弦值。

參考答案： 1． B，2．C，3．$ xÎR，x²-x+3≤0；4．否定形式：末位數(shù)是0或5的整數(shù)，不能被5整除；   否命題：末位數(shù)不是0且不是5的整數(shù)，不能被5整除

5．（1）Øp：$m∈R，方程x²+x-m=0無(wú)實(shí)根；真命題。

（2）Øq："ÎR，使得x²+x+1>0；真命題。

6． ⑴  若m>1，則方程x²-2x+m=0無(wú)實(shí)數(shù)根，(真)；

⑵平方和為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)不都為0(假)；

⑶若是銳角三角形， 則的任何一個(gè)內(nèi)角不都是銳角(假)；

⑷若abc=0，則a,b,c中沒(méi)有一個(gè)為0(假)；

⑸若(x-1)(x-2)=0，則 或，(真)．

C組

1、（1）

由得    又     

（2）由，得

 

所以，=

2、設(shè)   點(diǎn)在直線(xiàn)上，與共線(xiàn)，而

  即   有.

 

 

故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)

     于是