北京市西城區(qū)2009年抽樣測試

    高三數(shù)學試卷(理科)                  2009．1

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．共150分．考試時間120分鐘．

題號

一

二

三

總分

15

16

17

18

19

20

分數(shù)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第Ⅰ卷  (選擇題  共40分)

一、本大題共8小題。每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中。選出符合題目要求的一項．

1．若集合A={x| x－1≥0}，B={ x || x |>2}，則集合A∪B等于(    )

    A．{ x | x≥1}                       B．{ x | x >1或x <－2}

    C．{ x | x <－2或x >2}               D．{ x | x <-2或x≥1}

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2．若向量a=(1，2)，b=(－3，4)，則(a?b)( a+b)等于(    )

    A．20                              B．(－10，30)

    C．54                              D．(－8，24)

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3．已知函數(shù)f(x)=3x，那么函數(shù)f (x)的反函數(shù)f -1(x)的定義域為(     )

    A．{x| x >1}                         B．{ x | x >0}

C．{ x | x >0且x≠l}                  D．R

 

 

高三數(shù)學理科 第1頁(共8頁)

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4．“tanα=，且sinα?cotα<0”是“sinα=－”的(     )

    A．充分不必要條件                  B．必要不充分條件

    C．充要條件                        D．既不充分也不必要條件

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5．已知m是平面α的一條斜線，點Aα，l為過點A的一條動直線，那么下列情形可能

   出現(xiàn)的是(     )

   A．l∥m，l⊥α                       B．l⊥m，l⊥α

   C．l⊥m, l∥α                        D．l∥m, l∥α

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6．已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M，設A為圓上任一點，N(2，0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是(      )

   A．圓                                B．橢圓

   C．雙曲線                            D．拋物線

試題詳情

7．已知有窮數(shù)列{an}(n=1，2，…，6)滿足an∈{1，2，3，…，10}，且當i≠j (i，j=1，2，…，6)時，ai≠aj．若a1>a2>a3，a4<a5<a6，則符合條件的數(shù)列{an}的個數(shù)是(      )

   A．C103C73                             B．C103 C 103

   C．A103 A73                            D．C106A63

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8．如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，在P處有一

   棵樹與兩墻的距離分別是a m (0<a<12)、4m，不考慮樹

   的粗細．現(xiàn)在想用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩

   形的花圃ABCD．設此矩形花圃的最大面積為S，若將這

   棵樹圍在花圃內，則函數(shù)S=f(a)(單位m2)的圖象大致是(      )

試題詳情

 

 

 

 

高三數(shù)學理科 第2頁(共8頁)

北京市西城區(qū)2009年抽樣測試

試題詳情

    高三數(shù)學試卷(理科)                 2009．1

第Ⅱ卷  (共110分)

試題詳情

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．

9．若雙曲線的離心率為2，兩焦點坐標為(-2，0)，(2，0)，則此雙曲線的方程為

                     ．

 

試題詳情

10．已知實數(shù)x，y滿足             則z=2x+4y的最大值為          ．

 

試題詳情

11．已知(ax+)6的展開式中常數(shù)項為-160，那么a=          ．

試題詳情

12．若A，B兩點在半徑為2的球面上，且以線段AB為直徑的小圓周長為2π，則此球的表面積為          ，A，B兩點間的球面距離為          ．

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13．對于函數(shù)f(x)=sin x，g(x)=cos x，h(x)= x+，有如下四個命題：

試題詳情

    ①f(x)－g(x)的最大值為；

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    ②f [h(x)]在區(qū)間[－，0]上是增函數(shù)；

    ③g[f(x)]是最小正周期為2π的周期函數(shù)；

試題詳情

    ④將f(x)的圖象向右平移個單位可得g(x)的圖象．

    其中真命題的序號是         ．

試題詳情

14．已知數(shù)列{an}的每一項都是非負實數(shù)，且對任意m，n∈N*有

試題詳情

am+n－am－an=0或am+n－am－an=1．

試題詳情

又知a2=0，a3>0，a99=33．則a3=           ，a10=            ．

 

高三數(shù)學理科 第3頁(共8頁)

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文宇說明，證明過程或演算步驟．

15．(本小題滿分12分)

    在△ABC中，a、b、c分別是三個內角A、B、C的對邊，且a、b、c互不相等，設

a=4，c=3，A=2C．

    (Ⅰ)求cos C的值；

(Ⅱ)求b的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

16．(本小題滿分12分)

    在甲、乙兩個批次的某產(chǎn)品中，分別抽出3件進行質量檢驗．已知甲、乙批次每件產(chǎn)

試題詳情

品檢驗不合格的概率分別為、，假設每件產(chǎn)品檢驗是否合格相互之間沒有影響．

    (Ⅰ)求至少有2件甲批次產(chǎn)品檢驗不合格的概率；

(Ⅱ)求甲批次產(chǎn)品檢驗不合格件數(shù)恰好比乙批次產(chǎn)品檢驗不合格件數(shù)多1件的概率．

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學理科 第4頁(共8頁)

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17．(本小題滿分14分)

試題詳情

    如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．

試題詳情

    (Ⅰ)求證：PD⊥BC；

  (Ⅱ)求二面角B-PD-C的大�。�

  (Ⅲ)求點A到平面PBC的距離．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學理科 第5頁(共8頁)

試題詳情

18．(本小題滿分14分)

    已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，數(shù)列{ an +Sn}是公差為2的等差數(shù)列．

    (Ⅰ)求a2，a3；

    (Ⅱ)證明數(shù)列{an－2}為等比數(shù)列；

(Ⅲ)求數(shù)列{nan }的前n項和Tn．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學理科 第6頁(共8頁)

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19．(本小題滿分14分)

    已知拋物線C：y2=4x，點M(m，0)在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交

A、B兩點，O為坐標原點．

    (I)若m=1，l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

(Ⅱ)若存在直線l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比數(shù)列，求實數(shù)m的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學理科 第7頁(共8頁)

試題詳情

20．(本小題滿分14分)

    已知f(x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù)，如果存在實數(shù)m、n使得h(x)= mf(x)+ ng(x)，

那么稱h(x)為f(x)、g(x)在R上生成的一個函數(shù)．

    設f(x)=x2+ ax，g(x)= x +b(a，b∈R)，l (x)=2x2+3x－1, h(x)為f(x)、g(x)在R上生成的一個二次函數(shù)．

試題詳情

    (Ⅰ)設a=1，b=2，若h(x)為偶函數(shù)，求h()；

    (Ⅱ)設b >0，若b(x)同時也是g(x)、l(x)在R上生成的一個函數(shù)，求a+b的最小值；

(Ⅲ)試判斷h(x)能否為任意的一個二次函數(shù)，并證明你的結論．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學理科 第8頁(共8頁)

試題詳情

高三數(shù)學試卷(理科)                2009．1

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．

 

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

B

A

C

B

A

C

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．

9．x2-=1  10．14    11．-2  12．16π, π  13．①②    14．1，3

注：兩空的題目，第一個空2分，第二個空3分．

三、解答題：本大題共6小題，共80分．

15．(本小題滿分12分)

  (Ⅰ)解：在△ABC中，由正弦定理==，得=，………3分

     因為A=2C，所以=，即=，

     解得cosC=；                                      ………………………6分

  (Ⅱ)解：在△ABC中，由余弦定理b2=a2+b2－2abcosC，        ………………………9分

    得9=16+b2－8b×，解得b=3，或b=.

    因為a、b、c互不相等，

    所以b =．                                               ………………12分

16．(本小題滿分12分)

  (Ⅰ)解：記“至少有2件甲批次產(chǎn)品檢驗不合格”為事件A．   ………………………1分

     由題意，事件A包括以下兩個互斥事件：

    ①事件B：有2件甲批次產(chǎn)品檢驗不合格．由n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生k次的概率公式，得P(B)= C23?()2?(1－)1=；           ……………………3分

    ②事件C：3件甲批次產(chǎn)品檢驗都不合格．由相互獨立事件概率乘法公式，得P(C)=()3=；所以，“至少有2件甲批次產(chǎn)品檢驗不合格”的概率為P(A)= P(B)+ P(C)=：                                         ………………………6分

高三數(shù)學（理科）答案 第1頁（共8頁）

  (Ⅱ)解：記“甲批次產(chǎn)品檢驗不合格件數(shù)恰好比乙批次產(chǎn)品檢驗不合格件數(shù)多1件”為事件D．由題意，事件D包括以下三個互斥事件：

     ①事件E：3件甲批次產(chǎn)品檢驗都不合格，且有2件乙批次產(chǎn)品檢驗不合格．

       其概率P(E)=()2?C31 ()2(1－)=；            ………………………8分

     ②事件F：有2件甲批次產(chǎn)品檢驗不合格，且有1件乙批次產(chǎn)品檢驗不合格．

       其概率P(F)=C32()2(1－)?C31 ()1(1－)2=      ……………………10分

     ③事件G：有1件甲批次產(chǎn)品檢驗不合格，且有0件乙批次產(chǎn)品檢驗不合格．

       其概率P(G)= C31()1(1－)2?(1－)3=；

       所以，事件D的概率為P(D)=P(E)+P(F)+P(G)=.        …………………12分

17．(本小題滿分14分)

    方法一：(Ⅰ)證明：∵平面PCD⊥平面ABCD．

    又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD．

    ∴BC⊥平面PCD，        ……………………3分

    ∵PD平面PCD，

    ∴BC⊥PD；  　　　    ………………………4分

    (Ⅱ)解：取PD的中點E，連接CE、BE，

    ∵△PCD為正三角形，

    ∴CE⊥PD，

      由(Ⅰ)知BC⊥平面PCD，

    ∴CE是BE在平面PCD內的射影．

    ∴BE⊥PD，

    ∴∠CEB為二面角B-PD-C的平面角，                     ……………………7分

    在△CEB中，∠BCE=90°，BC=2，CE=，

    ∴tan∠CEB==，

    ∴二面角B-PD-C的大小為arctan；                      ……………10分

(Ⅲ)解：∵底面ABCD為正方形，∴AD∥BC，

 

高三數(shù)學（理科）答案 第2頁（共8頁）

    ∵AD平面PBC,BC平面PBC,

    ∴AD∥平面PBC，

    ∴點A到平面PBC的距離等于點D到平面PBC的距離，

    過D作DF⊥PC于F，

    ∵BC⊥平面PCD，

    ∴BC⊥DF，

    ∵PC∩BC=C，

    ∴DF⊥平面PBC，且DF∩平面PBC=F,

    ∴DF為點D到平面PBC的距離，                ………………………13分

    在等邊△PCD中，DC=2，DF⊥PC，

    ∴CF=1，DF==，

    ∴點A到平面PBC的距離等于                 ……………………14分

方法二：(Ⅰ)證明：取CD的中點為O，連接PO，

    ∵PD=PC，∴PO⊥CD，

    ∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

    ∴PO⊥平面ABCD，      ………………………2分

    如圖，在平面ABCD內，過O作OM⊥CD交AB于M,

以O為原點，OM、OC、OP分別為x、y、z軸，建立空間

直角坐標系O-xyz，

    則B(2，1，0)，C(0，1，0)，D(0，－l，0)，P(0，0，)，

    ∵=(0，－l，－)，=(－2，0，0)，

    ∴?=0，

    ∴BC⊥PD；                                          …………………4分

(Ⅱ)解：取PD的中點E，連接CE、BE，如(Ⅰ)建立空間坐標系，則E(0，－，)，

    ∵△PCD為正三角形，

    ∴CE⊥PD，

        ∵=(－2，－2，0)，=(－2，－1，)，

高三數(shù)學（理科）答案 第3頁（共8頁）

        ∴==，

∴BE⊥PD，

∴∠CEB為二面角B-PD- C的平面角，               ………………………7分

        ∵=(2，，-)，=(0，，-)，

        ∴cos∠BEC===，

        ∴二面角B-PD- C的大小為arccos                    ……………10分

     (III)解：過點A作AF⊥平面PBC于F，

    ∴AF為點A到平面PBC的距離，設=h，

        ∵=(－2，0，0)，= (0，－1，)，

        ∴=0，即BC⊥CP，

        ∴△PBC的面積S△PBC=|BC|?|PC|=2，

        ∵三棱錐A-PBC的體積VA-PBC=VP-ABC，

        ∴S△PBC=S△ABC，

    即，解得h=，

        ∴點A到平面PBC的距離為．                         ……………14分

18．(本小題滿分14分)

    (I)解：∵數(shù)列{an+Sn}是公差為2的等差數(shù)列，

      ∴(an+1+Sn+1)－( an+Sn )=2，即an+1=，                     ……………3分

      ∵a1=1，

      ∴a2=，a3=；                                        ……………5分

  (II)證明：由題意，得a1-2=-1，

     ∵，

高三數(shù)學（理科）答案 第4頁（共8頁）

       ∴{ an-2)是首項為-l，公比為的等比數(shù)列；                ………………9分

    (Ⅲ)解：由(Ⅱ)得an-2=-()n-1，

   ∴nan=2n-n n-1，                                       ……………10分

       ∴Tn=(2-1)+(4-2)+[6-32]+…+[2n-n n-1]，

       ∴Tn =(2+4+6+…+2n)-[l+2+32 +…+ n n-1]，

       設An=1+2+32+…+ n n ，          ①

      ∴ An=+22+33+…+ n n-1 ，    ②

    由①-②，得An =1++()2+…+() n-1 - n n，

  ∴An=，

    ∴An=4-(n+2)n-1，

       ∴Tn=+(n+2)n-1-4=(n+2)n-1+ n (n+1) ? 4． …………………14分

19．(本小題滿分14分)

    (Ⅰ)解：由題意，得M(1，0)，直線l的方程為y=x-1．

   由，得x2-6 x +1=0，

       設A，B兩點坐標為A (x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點P的坐標為P(x0，y0)，

       則x1=3+2，x2=3-2，y1= x1-1=2+2，y2= x2-1=2―2，

       故點A(3+2，2+2)，B(3-2，2-2)，            ……………3分

    所以x0==3，y0= x0-1=2，

       故圓心為P(3，2)，直徑=，

       所以以AB為直徑的圓的方程為(x-3) 2+( y-2) 2=16；           ………………6分

  方法一：(II)解：設A，B兩點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，．

高三數(shù)學（理科）答案 第5頁（共8頁）

則=( m- x1，- y1)，=( x2-m， y2)，

       所以           ①

       因為點A，B在拋物線C上，

       所以y12=4x1，y22=4x2               ②

       由①②，消去x2，y1，y2  得λx1= m．                 ……………………10分

       若此直線l使得 ，，成等比數(shù)列，則2=，

 即2=λ，所以m2=λ[(x1-m)2+y12]，

       因為y12=4x1，λx1=m，所以m2=[(x1-m)2+4x1]，

 整理得x12-(3m-4)xl+ m2=0，           ③               …………………12分

      因為存在直線l使得，，成等比數(shù)列，

      所以關于x1的方程③有正根，

      因為方程③的兩根之積為m2>0，所以只可能有兩個正根，

      所以，解得m4．

       故當m4時，存在直線l使得，，成等比數(shù)列．…………14分

方法二：(II)解：設使得，，成等比數(shù)列的直線AB方程為x=m(m >0)或

   y= k(x-m)(k≠0)，

    當直線AB方程為x=m時，A(m，)，B(m，-)，

       因為，，成等比數(shù)列， 

       所以2=，即m2=4 m，解得m =4，或m =0(舍)； ……………8分

當直線AB方程為y= k(x- m)時，

高三數(shù)學（理科）答案 第6頁（共8頁）

    由，得k2x2-(2k2m+4)x+k2m2=0，

    設A，B兩點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，

    則x1+ x2=，x1x2=m2,                    ①

    由m>0，得Δ=(2k2m+4)2-4k2k2m2=16k2m+16>0．

    因為，，成等比數(shù)列，所以2=，

    所以m2=，      ②

    因為A，B兩點在拋物線C上，

    所以y12=4x1，y22=4x2，                           ③      ……………11分

    由①②③，消去x1，y1，x2，y2，

    得m=4(1+)，

    因為存在直線l使得，，成等比數(shù)列，

    所以m=4(1+)>4，

綜上，當m4時，存在直線l使得，，成等比數(shù)列．…………14分

20．(本小題滿分14分)

    (Ⅰ)解：設h(x)= mf(x)+ ng(x)，則h(x)= m(x2+x)+ n(x+2)=mx2+(m+n)x+2n(m≠0)，

       因為h(x)為一個二次函數(shù)，且為偶函數(shù)，

   所以二次函數(shù)h(x)的對稱軸為y軸，即x=，

       所以n=-m，則h(x)= mx2-2m，

    則h()=0；                                   ……………………3分

    (Ⅱ)解：由題意，設h(x)= mf(x)+ ng(x)=mx2+(am+n)x+bn(m，n∈R ，且m≠0)

    由h(x)同時也是g(x)、l(x)在R上生成的一個函數(shù)，

    知存在m0，n0 使得h(x)= m0g(x)+ n0l(x)=2n0x2+(m0+3n0)x+(bm0-n0)，

    所以函數(shù)h(x)=mx2+ (am+n) x+bn=2n0x2+(m0+3n0)x+(bm0-n0)，

高三數(shù)學（理科）答案 第7頁（共8頁）

  則，                          ………………………5分

  消去m0，n0，得am=()m，  

因為m≠0，所以a=，                         …………………7分

因為b>0，

所以a+b=+ b (當且僅當b =時取等號)，

故a+b的最小值為．                           …………………9分

(Ⅲ)結論：函數(shù)h(x)不能為任意的一個二次函數(shù)．   

   以下給出證明過程．

   證明：假設函數(shù)h(x)能為任意的一個二次函數(shù)，

   那么存在m1，n1使得h(x)為二次函數(shù)y=x2，記為h1(x)=x2，

   即h1(x)=m1 f(x)+ n1g(x)= x2 ；                ①

   同理，存在m2，n2使得h(x)為二次函數(shù)y=x2+l，記為h2(x)=x2+l，

   即h2(x) =m2 f(x)+ n2g(x)= x2+l．                ②

   由②-①，得函數(shù)h2(x) ? h1(x)=( m2?m1) f(x)+( n2?n1) g(x)=1，

   令m3=m2-m1，n3=n2-n1，化簡得m3( x2+ax)+ n3(x+b) =1對x∈R恒成立，

   即m3x3 (m3a+n3)x+ n3b=1 對x∈R恒成立，

   所以，即，

   顯然，n3b=0×b=0與n3b =1矛盾，

   所以，假設是錯誤的，

   故函數(shù)h(x) 不能為任意的一個二次函數(shù)．            …………………14分

          注：第（Ⅲ）問還可以舉其他反例．

高三數(shù)學（理科）答案 第8頁（共8頁）

 


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