江蘇省鹽城市2008-2009高三第一次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

 (總分160分,考試時(shí)間120分鐘)

參考公式：線性回歸方程的系數(shù)公式為.

一、填空題：本大題共14小題,每小題5分,計(jì)70分.不需寫出解答過程,請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上.

1.已知角的終邊過點(diǎn)(－5,12),則=____▲____.

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2.設(shè)(為虛數(shù)單位),則=____▲____.

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3.如圖,一個(gè)幾何體的主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為2的正方形,其俯視圖是直徑為2的圓,則該幾何體的表面積為____▲____.

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4.設(shè)不等式組所表示的區(qū)域?yàn)?sub>,現(xiàn)在區(qū)域中任意丟進(jìn)一個(gè)粒子,則該粒子落在直線上方的概率為____▲____.

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5. 某單位為了了解用電量y度與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：

氣溫(0C)

18

13

10

-1

用電量(度)

24

34

38

64

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由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程中，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為時(shí)，用電量的度數(shù)約為____▲____.

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6.設(shè)方程的解為,則關(guān)于的不等式的最大整數(shù)解為____▲____.

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7.對(duì)一個(gè)作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程觀測(cè)了8次,得到如下表所示的數(shù)據(jù).

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觀測(cè)次數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

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觀測(cè)數(shù)據(jù)

40

41

43

43

44

46

47

48

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在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中,一部分計(jì)算見如圖所示的算法流程圖(其中是這8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)),則輸出的S的值是____▲____.

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8.設(shè)為曲線上一點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線的斜率的范圍是,則點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是____▲____.

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9.已知是等比數(shù)列,,則=____▲____.

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10.在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi),不難得到“對(duì)于雙曲線（）上任意一點(diǎn),若點(diǎn)在軸、軸上的射影分別為、，則必為定值”.類比于此，對(duì)于雙曲線（,）上任意一點(diǎn),類似的命題為:____▲____.

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11.現(xiàn)有下列命題:①命題“”的否定是“”；② 若,,則=；③函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是；④若非零向量滿足,則的夾角為 60º.其中正確命題的序號(hào)有____▲____.(寫出所有你認(rèn)為真命題的序號(hào))

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12.設(shè)分別是橢圓的左頂點(diǎn)與右焦點(diǎn),若在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn),使得線段的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn),則橢圓的離心率的取值范圍是____▲____.

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13.如圖,在三棱錐中, 、、兩兩垂直,且.設(shè)是底面內(nèi)一點(diǎn),定義,其中、、分別是三棱錐、 三棱錐、三棱錐的體積.若,且恒成立,則正實(shí)數(shù)的最小值為____▲____.

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14.若關(guān)于的不等式至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____▲____.

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二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟,請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

15. (本小題滿分14分)

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   已知在中,,分別是角所對(duì)的邊.

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   (Ⅰ)求；

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   (Ⅱ)若,,求的面積.

 

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16. (本小題滿分14分)

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如圖,在四棱錐中,側(cè)面底面,側(cè)棱,底面是直角梯形,其中,,,是上一點(diǎn).

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(Ⅰ)若,試指出點(diǎn)的位置；

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 (Ⅱ)求證:.

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17. (本小題滿分15分)

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如圖,某小區(qū)準(zhǔn)備在一直角圍墻內(nèi)的空地上植造一塊“綠地”,其中長(zhǎng)為定值, 長(zhǎng)可根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)節(jié)(足夠長(zhǎng)).現(xiàn)規(guī)劃在的內(nèi)接正方形內(nèi)種花,其余地方種草,且把種草的面積與種花的面積的比值稱為“草花比”.

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(Ⅰ)設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式；

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   (Ⅱ)當(dāng)為多長(zhǎng)時(shí),有最小值?最小值是多少?

 

 

 

 

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18. (本小題滿分15分)

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已知過點(diǎn),且與:關(guān)于直線對(duì)稱.

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(Ⅰ)求的方程；

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(Ⅱ)設(shè)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最小值；

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(Ⅲ)過點(diǎn)作兩條相異直線分別與相交于,且直線和直線的傾斜角互補(bǔ),為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷直線和是否平行?請(qǐng)說明理由.

 

 

 

 

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19. (本小題滿分16分)

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已知函數(shù)定義域?yàn)?sub>(),設(shè).

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(Ⅰ)試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

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(Ⅱ)求證:；

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(Ⅲ)求證:對(duì)于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個(gè)數(shù).

 

 

 

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20. (本小題滿分16分)

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在正項(xiàng)數(shù)列中,令.

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（Ⅰ）若是首項(xiàng)為25,公差為2的等差數(shù)列,求；

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（Ⅱ）若（為正常數(shù)）對(duì)正整數(shù)恒成立,求證為等差數(shù)列；

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（Ⅲ）給定正整數(shù),正實(shí)數(shù),對(duì)于滿足的所有等差數(shù)列,

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求的最大值.

 

鹽城市2008/2009高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)附加題

 (總分40分,考試時(shí)間30分鐘)

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21.[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

A.（選修4―1：幾何證明選講）

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如圖，⊙的內(nèi)接三角形，⊙的切線，  

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*交于點(diǎn)，交⊙于點(diǎn)，若，

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.

 

 

 

 

B.（選修4―2：矩陣與變換）

二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(diǎn)(－1，－1)與(0，－2).

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(Ⅰ)求矩陣M的逆矩陣；

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(Ⅱ)設(shè)直線在變換M作用下得到了直線m：2x－y=4，求的方程．

 

C.（選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）

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在極坐標(biāo)系中,設(shè)圓上的點(diǎn)到直線的距離為,求的最大值.

 

D.（選修4―5：不等式選講）

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設(shè)為正數(shù)且，求證:.

 

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[必做題] 第22、23題,每小題10分,計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

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22．（本小題滿分10分）

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.

（Ⅰ）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；

（Ⅱ）求二面角A―PB―D的余弦值.

 

 

 

 

 

 

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23. (本小題滿分10分)

試題詳情

袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為.現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止.每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的,用表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù)．

(Ⅰ)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；

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(Ⅱ)求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)求甲取到白球的概率．

鹽城市2008/2009高三第一次調(diào)研

試題詳情

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.

1.           2.          3.          4.         5.68    

 6. 4            7. 7             8.        9.    

10. 若點(diǎn)P在兩漸近線上的射影分別為、，則必為定值

11.②③          12.         13.1        14.

 

二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.

15. 解: (Ⅰ)因?yàn)?sub>,∴,則…………………………(4分)

  ∴……………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)由,得,∴……………………………(9分)

   則 ……………………………(11分)

由正弦定理,得,∴的面積為………(14分)

16. (Ⅰ)解:因?yàn)?sub>,,且,

所以…………………………………………………………………………(4分)

   又,所以四邊形為平行四邊形,則……………………(6分)

   而,故點(diǎn)的位置滿足……………………………………(7分)

(Ⅱ)證: 因?yàn)閭?cè)面底面,,且,

所以,則………………………………………………(10分)

   又,且,所以…(13分)

   而,所以………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)因?yàn)?sub>,所以的面積為()…………(2分)

   設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,則由,得,

解得,則……………………………………………………(6分)

   所以,則…(9分)

   (Ⅱ)因?yàn)?sub>,所以…(13分)

   當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí).所以當(dāng)長(zhǎng)為時(shí),有最小值1…………(15分)

18. 解:(Ⅰ)設(shè)圓心,則,解得……………………(3分)

則圓的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,故圓的方程為…5分)

(Ⅱ)設(shè),則,且………………(7分)

==,

所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)……………………………(10分)

(Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),

,由,

得 ……………………………………………(11分)

  因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是該方程的解,故可得…………………(13分)

  同理,,

所以=

  所以,直線和一定平行…………………………………………………(15分)

19. (Ⅰ)解:因?yàn)?sub>…………………………………(2分)

由；由,

所以在上遞增,在上遞減 …………………………(4分)

欲在上為單調(diào)函數(shù),則……………………………………(5分)

(Ⅱ)證:因?yàn)?sub>在上遞增,在上遞減,

所以在處取得極小值(7分)

 又,所以在上的最小值為 ……………(9分)

 從而當(dāng)時(shí),,即……………………………………(10分)

(Ⅲ)證:因?yàn)?sub>,所以即為,

   令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

在上有解,并討論解的個(gè)數(shù)………………………………………………(12分)

   因?yàn)?sub>,,

所以  ①當(dāng)時(shí),,

所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

②當(dāng)時(shí),,但由于,

所以在上有解,且有兩解 ……………………………………………(14分)

③當(dāng)時(shí),,所以在上有且只有一解；

當(dāng)時(shí),,

所以在上也有且只有一解……………………………………………(15分)

綜上所述, 對(duì)于任意的,總存在,滿足,

且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意；

當(dāng)時(shí),有兩個(gè)適合題意……………………………………………………(16分)

(說明:第(Ⅱ)題也可以令,,然后分情況證明在其值域內(nèi),并討論直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到相應(yīng)的的個(gè)數(shù))

20.（Ⅰ）解：由題意得,,所以=……………(4分)

（Ⅱ）證:令,,則=1……………………………………(5分)

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化簡(jiǎn)得（3）……………………………………………………(7分)

（4）,（4）―（3）得……(9分)

在（3）中令,得,從而為等差數(shù)列 …………………………………(10分)

（Ⅲ）記,公差為,則=…………(12分)

則,

………………………………(14分)

則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立……(16分)

 

 

數(shù)學(xué)附加題部分

21.A．（幾何證明選講選做題）

解：因?yàn)镻B=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,連結(jié)AD,在中,得……(5分)

又,所以 …………………………………………………………………(10分)

B．（矩陣與變換選做題）

解: (Ⅰ)設(shè),則有=,=,

所以,解得 …………………………………………(4分)

所以M=,從而= ………………………………………………(7分)

(Ⅱ)因?yàn)?sub>且m：2，

所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,這就是直線l的方程 ……………………………(10分)

C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）

解：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程：………………………………(2分)

   可化為   ………………………………………(5分)

在上任取一點(diǎn)A,則點(diǎn)A到直線的距離為

,它的最大值為4 ………………(10分)

D．（不等式選講選做題）

證:左=

…………………………(5分)

 

……………………………………………………(10分)

22．解:以O(shè)A、OB所在直線分別x軸，y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，…(2分)

（Ⅰ）設(shè)平面PDB的法向量為,

  由,

   所以=………………………………(5分)

  （Ⅱ）設(shè)平面ABP的法向量，，

   ,，

   ,而所求的二面角與互補(bǔ),

所以二面角A―PB―D的余弦值為………………………………………………(10分)

23．解：(Ⅰ)設(shè)袋中原有n個(gè)白球,由題意知：，所以=12，

解得n=4(舍去),即袋中原有4個(gè)白球………………………………………(3分)

(Ⅱ)由題意,的可能取值為1，2，3，4……………………………………………(4分)

,

所以，取球次數(shù)的分布列為：

1

2

3

4

P

(6分)

    ……………………………………………………………(8分)

(Ⅲ)因?yàn)榧紫热?所以甲只有可能在第1次和第3次取球,記“甲取到白球”的事件為A，

則或 “=3”）,所以……………(10分)

 

 

 


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