第十四講   不等式的應(yīng)用

★★★高考在考什么

【考題回放】

1.(北京) 若不等式組6ec8aac122bd4f6e表示的平面區(qū)域是一個三角形,則6ec8aac122bd4f6e的取值范圍是( D。

A.6ec8aac122bd4f6e      B.6ec8aac122bd4f6e       C.6ec8aac122bd4f6e      D.6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

2.(福建) 已知6ec8aac122bd4f6e為R上的減函數(shù),則滿足6ec8aac122bd4f6e的實數(shù)6ec8aac122bd4f6e的取值范圍是(C)

A.(-1,1)                B.(0,1) 

C.(-1,0)6ec8aac122bd4f6e(0,1)      D.(-6ec8aac122bd4f6e,-1)6ec8aac122bd4f6e(1,+6ec8aac122bd4f6e

3.(陜西)已知不等式6ec8aac122bd4f6e對任意正實數(shù)6ec8aac122bd4f6e恒成立,則正實數(shù)6ec8aac122bd4f6e的最小值為 (B)

    (A)8    (B)6   。–)4   。―)2

4.(重慶)若動點(6ec8aac122bd4f6e)在曲線6ec8aac122bd4f6e上變化,則6ec8aac122bd4f6e的最大值為(  A )

    A.6ec8aac122bd4f6e          B.6ec8aac122bd4f6e

    C.6ec8aac122bd4f6e                          D.26ec8aac122bd4f6e

5.(重慶)一元二次方程6ec8aac122bd4f6e有一個正根和一個負根的充分不必要條件是      (  C )

   A.6ec8aac122bd4f6e           B.6ec8aac122bd4f6e         C.6ec8aac122bd4f6e         D.6ec8aac122bd4f6e

6、(浙江卷)已知6ec8aac122bd4f6e則不等式6ec8aac122bd4f6e≤5的解集是   6ec8aac122bd4f6e       .

★★★高考要考什么

不等式是繼函數(shù)與方程之后的又一重點內(nèi)容之一,作為解決問題的工具,與其他知識綜合運用的特點比較突出.不等式的應(yīng)用大致可分為兩類:一類是建立不等式求參數(shù)的取值范圍或解決一些實際應(yīng)用問題;另一類是建立函數(shù)關(guān)系,利用均值不等式求最值問題、本難點提供相關(guān)的思想方法,使考生能夠運用不等式的性質(zhì)、定理和方法解決函數(shù)、方程、實際應(yīng)用等方面的問題.

★     ★★ 突 破 重 難 點

【范例1】已知函數(shù)6ec8aac122bd4f6e的圖象與6ec8aac122bd4f6e軸分別相交于點A、B,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e分別是與6ec8aac122bd4f6e軸正半軸同方向的單位向量),函數(shù)6ec8aac122bd4f6e。

(1)求6ec8aac122bd4f6e的值;

(2)當6ec8aac122bd4f6e滿足6ec8aac122bd4f6e時,求函數(shù)6ec8aac122bd4f6e的最小值。

解:(1)由已知得6ec8aac122bd4f6e

于是 6ec8aac122bd4f6e

(2)由6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

由于6ec8aac122bd4f6e,其中等號當且僅當x+2=1,即x=-1時成立,

6ec8aac122bd4f6e時的最小值是-3.

【范例2】已知ab,c是實數(shù),函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當-1≤x≤1時|f(x)|≤1.

(1)證明:|c|≤1;

(2)證明:當-1 ≤x≤1時,|g(x)|≤2;

(3)設(shè)a>0,有-1≤x≤1時, g(x)的最大值為2,求f(x).

命題意圖:本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、含有絕對值不等式的性質(zhì),以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.屬較難題目.

知識依托:二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性是藥引,而絕對值不等式的性質(zhì)靈活運用是本題的靈魂.

錯解分析:本題綜合性較強,其解答的關(guān)鍵是對函數(shù)f(x)的單調(diào)性的深刻理解,以及對條件“-1≤x≤1時|f(x)|≤1”的運用;絕對值不等式的性質(zhì)使用不當,會使解題過程空洞,缺乏嚴密,從而使題目陷于僵局.

技巧與方法:本題(2)問有三種證法,證法一利用g(x)的單調(diào)性;證法二利用絕對值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;而證法三則是整體處理g(x)與f(x)的關(guān)系.

(1)證明:由條件當=1≤x≤1時,|f(x)|≤1,取x=0得:|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1.

(2)證法一:依題設(shè)|f(0)|≤1而f(0)=c,所以|c|≤1.當a>0時,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函數(shù),于是

g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1).

∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,

g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,

g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,

因此得|g(x)|≤2  (-1≤x≤1);

a<0時,g(x)=ax+b在[-1,1]上是減函數(shù),于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),

∵|f(x)|≤1  (-1≤x≤1),|c|≤1

∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.

綜合以上結(jié)果,當-1≤x≤1時,都有|g(x)|≤2.

證法二:∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)

∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,

f(x)=ax2+bx+c,∴|ab+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,

因此,根據(jù)絕對值不等式性質(zhì)得:

|ab|=|(ab+c)-c|≤|ab+c|+|c|≤2,

|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2,

g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2,

函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是一條直線,因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在區(qū)間的端點x=-1或x=1處取得,于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2,(-1<x<16ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e

當-1≤x≤1時,有0≤6ec8aac122bd4f6e≤1,-1≤6ec8aac122bd4f6e≤0,

∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f 6ec8aac122bd4f6e|≤1,|f(6ec8aac122bd4f6e)|≤1;

因此當-1≤x≤1時,|g(x)|≤|f 6ec8aac122bd4f6e|+|f(6ec8aac122bd4f6e)|≤2.

(3)解:因為a>0,g(x)在[-1,1]上是增函數(shù),當x=1時取得最大值2,即

g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.                                                  ①

∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1.

因為當-1≤x≤1時,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),直線x=0為f(x)的圖象的對稱軸,

由此得-6ec8aac122bd4f6e<0 ,即b=0.

由①得a=2,所以f(x)=2x2-1.

 

【范例3】已知二次函數(shù)6ec8aac122bd4f6e的圖像經(jīng)過坐標原點,其導(dǎo)函數(shù)為6ec8aac122bd4f6e.數(shù)列6ec8aac122bd4f6e的前6ec8aac122bd4f6e項和為6ec8aac122bd4f6e,點6ec8aac122bd4f6e均在函數(shù)6ec8aac122bd4f6e的圖像上.

(Ⅰ)求數(shù)列6ec8aac122bd4f6e的通項公式;

(Ⅱ)設(shè)6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e是數(shù)列6ec8aac122bd4f6e的前6ec8aac122bd4f6e項和,求使得6ec8aac122bd4f6e對所有6ec8aac122bd4f6e都成立的最小正整數(shù)6ec8aac122bd4f6e.

點評:本小題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能,考查分析問題的能力和推理能力。

解:(Ⅰ)設(shè)這二次函數(shù)f(x)=ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得

a=3 ,  b=-2, 所以  f(x)=3x2-2x.

又因為點6ec8aac122bd4f6e均在函數(shù)6ec8aac122bd4f6e的圖像上,所以6ec8aac122bd4f6e=3n2-2n.

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-6ec8aac122bd4f6e=6n-5.

當n=1時,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 (6ec8aac122bd4f6e

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,

故Tn6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e(1-6ec8aac122bd4f6e).

因此,要使6ec8aac122bd4f6e(1-6ec8aac122bd4f6e)<6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e)成立的m,必須且僅須滿足6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,即m≥10,所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.

 

 


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