圖5

（3）延長AB到H，使BH ＝OB．求證：CH是⊙O的切線．               　  

分析：（1）只要證即可，（2）要判斷是梯形，只要說明DC∥AB即可，注意到已知條件中數量關系較多，考慮從邊相等的角度來說明：先求DC，再說明OBCD是菱形（3）要證明“CH是⊙O的切線”，只要證明∠OCH=即可.

解：（1）因為C是劣弧的中點，所以．因為∠DCE=∠ACD，

所以∽．　                 

（2）四邊形ABCD是梯形.

證明：連接，由⑴得.因為，所以�。�由已知.因為是⊙O的直徑， 所以　，所以．所以. 所以.　所以四邊形OBCD是菱形．所以，　所以四邊形ABCD是梯形．

過C作CF垂直AB于點F，連接OC，則，所以．

所以 CF=BC×sin60=1.5.

所以．

（3）證明：連接OC交BD于點G，由（2）得四邊形OBCD是菱形，

所以且．又已知OB＝BH　，所以BH平行且等于CD.所以四邊形BHCD是平行四邊形.所以．  所以.　所以CH是⊙O的切線．

 特別提示：在推理時，有時可能需要借助于計算來幫助證明，比如本題中證明DC∥AB.

跟蹤練習2.

（2007四川綿陽）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC = 60°，

P是OB上一點，過P作AB的垂線與AC的延長線交于點Q，

過點C的切線CD交PQ于D，連結OC．

（1）求證：△CDQ是等腰三角形；

（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．

參考答案：2（1）由已知得∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，∴ ∠Q = 30°，∠BCO = ∠ABC = 30°．

∵ CD是⊙O的切線，CO是半徑，∴ CD⊥CO，∴ ∠DCQ =30°，∴ ∠DCQ =∠Q，

故△CDQ是等腰三角形．

（2）設⊙O的半徑為1，則AB = 2，OC = 1，AC = ABㄍ2 = 1，BC =．

∵△CDQ≌△COB，∴ CQ = BC =．于是 AQ = AC + CQ = 1 +，

進而 AP = AQㄍ2 =（1 +）ㄍ2，∴ BP = AB－AP =（3－）ㄍ2，

PO = AP－AO =（－1）ㄍ2，∴ BP:PO =．

類型3.  含統(tǒng)計（或概率）的代數（或幾何）綜合題

這類題通常為知識串聯(lián)型試題，因此只要逐個擊破即可.

例3．（2007?江西）在一次數學活動中，黑板上畫著如圖所示的圖形，活動前老師在準備的四張紙片上分別寫有如下四個等式中的一個等式：

①        ②     ③        ④

小明同學閉上眼睛從四張紙片中隨機抽取一張，再從剩下的紙片中隨機抽取另一張．請結合圖形解答下列兩個問題：

（1）當抽得①和②時，用①，②作為條件能判定

是等腰三角形嗎？說說你的理由；

（2）請你用樹形圖或表格表示抽取兩張紙片上的等式所有

可能出現的結果（用序號表示），并求以已經抽取的兩張紙片

上的等式為條件，使不能構成等腰三角形的概率．

分析：（1）只要說明BE=CE即可，從而考慮證明.（2）如果不一定成立，那么未必是等腰三角形.再根據概率定義即可得解.                                               

解：（1）能．理由：由，，，

得．.是等腰三角形．

（2）樹形圖：

先抽取的紙片序號

所有可能出現的結果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）（③④）（④①）（④②）（④③）.

抽取的兩張紙片上的等式有12種等可能性結果，其中不能構成等腰三角形的有4種（（①③），（③①），（②④），（④②）），所以使不能構成等腰三角形的概率為．

 特別提示：不能得到“”有兩種情形，一是“邊邊角”不能得全等，二是只能得到相似.

跟蹤練習3.（2007 遼寧沈陽）．如圖所給的A、B、C三個幾何體中，按箭頭所示的方向為它們的正面，設A、B、C三個幾何體的主視圖分別是A₁、B₁、C₁；左視圖分別是A₂、B₂、C₂；俯視圖分別是A₃、B₃、C₃．

（1）請你分別寫出A₁、A₂、A₃、B₁、B₂、B₃、C₁、C₂、C₃圖形的名稱；

（2）小剛先將這9個視圖分別畫在大小、形狀完全相同的9張卡片上，并將畫有A₁、A₂、A₃的三張卡片放在甲口袋中，畫有B₁、B₂、B₃的三張卡片放在乙口袋中，畫有C₁、C₂、C₃的三張卡片放在丙口袋中，然后由小亮隨機從這三個口袋中分別抽取一張卡片．

① 通過補全下面的樹狀圖，求出小亮隨機抽取的三張卡片上的圖形名稱都相同的概率；

② 小亮和小剛做游戲，游戲規(guī)則規(guī)定：在小亮隨機抽取的三張卡片中只有兩張卡片上的圖形名稱相同時，小剛獲勝；三張卡片上的圖形名稱完全不同時，小亮獲勝．這個游戲對雙方公平嗎？為什么？

解：（1）         Ａ　　　　　　Ｂ　　　　　�。�

（2）①樹狀圖：

參考答案：3（1）由已知可得A₁、A₂是矩形，A₃是圓；B₁、B₂、B₃都是矩形；

C₁是三角形，C₂、C₃是矩形．　

（2）①補全樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有27種等可能結果，其中三張卡片上的圖形名稱都相同的結果有12種，∴三張卡片上的圖形名稱都相同的概率是＝ 

②游戲對雙方不公平．由①可知， P_{（小剛獲勝）}＝。三張卡片上的圖形名稱完全不同的概率是，即P_{（小亮獲勝）}＝，這個游戲對雙方不公平．　

類型4.  圖形中的函數(方程）

這類題通常需要利用方程與函數的思想來處理，具體的說，往往通過線段成比例或者面積公式等來建立關系式，再通過解方程或者利用函數性質來得到解決.

例4．（2007?山西臨汾）如圖，已知正方形與正方形的邊長分別是和，它們的中心都在直線上，，在直線上，與相交于點，，當正方形沿直線 以每秒1個單位的速度向左平移時，正方形也繞以每秒順時針方向開始旋轉，在運動變化過程中，它們的形狀和大小都不改變．

（1）在開始運動前，         ；

（2）當兩個正方形按照各自的運動方式同時

運動3秒時，正方形停止旋轉，這時

          ，         ；

（3）當正方形停止旋轉后，正方形繼續(xù)向左平移的時間為秒，兩正方形重疊部分的面積為，求與之間的函數表達式．

分析:（1）,,所以（2）運動3秒時，,此時A點落在上，所以AE==0,（3）重疊部分是正方形，只要用x表示出其邊長即可，注意到不同情況下，邊長的表示不一樣，從而需要討論.

解：（1）9．（2）0，     6．

（3）當正方形停止運動后，正方形繼續(xù)向左平移時，與正方形重疊部分的形狀也是正方形．重疊部分的面積與之間的函數關系應分四種情況：

①如圖1，當時，，與之間的函數關系式為．

②如圖2，當4≤x≤8時，與之間的函數關系式為y=8．

③如圖3，當8<x<12時，，與之間的函數關系式為．

④當時，與之間的函數關系式為．

 特別提示：（1）本題也是變換型試題，計算與證明時要抓住變換中不變的元素（比如角相等，邊相等，圖形全等，等）來進行處理，如果直角比較多，還可從相似、三角函數、勾股定理角度來建立數量關系.（2）對于圖形變化中分段函數的問題，可以從圖形特征角度來分別討論，以力求解答完備.

跟蹤練習4（2007?河北）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點P從點B出發(fā)沿折線段BA^-AD^-DC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD^-DA^-AB于點E．點P、Q同時開始運動，當點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）當點P到達終點C時，求t的值，并指出此時BQ的長；   

（2）當點P運動到AD上時，t為何值能使P Q∥DC？

（3）設射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運

動到CD、DA上時，S與t的函數關系式；（不必寫出t的取值范圍）

（4）△PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．

參考答案：

4：（1）t =35（秒）時，點P到達終點C． BQ的長為135－105=30．                    

（2）若PQ∥DC，又AD∥BC，則四邊形PQCD為平行四邊形，從而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t，得50＋75－5t=3t，

解得t=．當t=時，有PQ∥DC．

（3）①當點E在CD上運動時S=S_ㄓQCE =QE?QC=6t²；

②當點E在DA上運動時， S= S_梯形QCDE =(ED＋QC)DH ==120 t－600．   

（4）       △PQE能成為直角三角形．當△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0＜t≤25且t

≠或t=35．                                                                                                                 

跟蹤練習5（2007江蘇揚州）如圖，矩形中，厘米，厘米（）．動點同時從點出發(fā)，分別沿，運動，速度是厘米／秒．過作直線垂直于，分別交，于．當點到達終點時，點也隨之停止運動．設運動時間為秒．

（1）若厘米，秒，則______厘米；

（2）若厘米，求時間，使，并求出它們的相似比；

（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；

（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

參考答案：5、（1），（2），使，相似比為

（3）△AMP∽△ABN可得PM=， ，化簡,得，3＜a≤6.

（4）梯形的面積與梯形的面積相等即可， ，把代入，解得（舍負值）．

類型5.   拋物線中的圖形

一般而言，這類題多為壓軸題，解答基本思路仍然為分析與綜合.除了需要靈活運用代數與幾何核心知識外，還要注意應用分類、數形結合、轉化等基本數學思想方法.

例5 （2007?河南）如圖，對稱軸為直線的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線解析式及頂點坐標；

（2）設點E（，）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形．求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

 ①當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？

②是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

分析：（1）利用待定系數法可以求出拋物線解析式，（2）利用平行四邊形OEAF的面積公式來建立函數關系式.①判斷OEAF是否為菱形，關鍵是看能否由已知條件得到鄰邊相等，即需要將面積關系轉化為線段關系，②假設存在符合條件的 E，考慮先滿足條件“使得OEAF為正方形”，再看能否滿足另外條件“在拋物線上”.

解：（1）由拋物線的對稱軸是，可設解析式為．把A、B兩點坐標代入上式，得故拋物線解析式為，頂點為

（2）因為點在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合，

所以y<0，即 －y>0,－y表示點E到OA的距離．因為OA是的對角線，

所以.

因為拋物線與x軸焦點的橫坐標分別為：x_1=1，x₂₌6.又點E在第四象限，點E的縱坐標小于0，所以點E的橫坐標1<x<6.

．的取值范圍是1＜＜6．

①     根據題意，當S = 24時，即．  解得故所求的點E

有兩個，分別為E₁（3，－4），E₂（4，－4）．點E₁（3，－4）滿足OE = AE，所以是菱形；點E₂（4，－4）不滿足OE = AE，所以不是菱形．

②     當OA⊥EF，且OA = EF時，是正方形，此時點E的坐標只能是（3，－3）．

而坐標為（3，－3）的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E，使為正方形．

 特別提示：需要同時滿足幾個條件時，不妨先滿足其中部分，再看是否滿足其它條件.

跟蹤練習6（2007遼寧沈陽）．已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）求此拋物線的表達式；

（3）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點

（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，

連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

參考答案：

6、（1）點B（2，0），點C（0，8），點A（－6，0），（2）拋物線的表達式為y＝－x²－x＋8　，（3）由＝　，因為AC==10，BE=8-m，AB=8.所以EF＝.

作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=.所以在Rt△EGF中， FG＝EF?sin∠FEG=?=8-m，所以S＝=-=－m²＋4m， m的取值范圍是0＜m＜8　　

（4）存在．因為S＝－m²＋4m，又a= <0，當m===4時，=8.因為m=4，所以點E的坐標為（－2，0），

△BCE為等腰三角形．