2009屆高考數(shù)學(xué)第三輪復(fù)習(xí)精編模擬十

參考公式：

如果事件互斥，那么                                   球的表面積公式

                                   

如果事件相互獨(dú)立，那么                            其中表示球的半徑

                                         球的體積公式

如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么         

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率           其中表示球的半徑

第一部分 選擇題（共50分）

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1、設(shè)其中i，j為互相垂直的單位向量，又，則實(shí)數(shù)m =（       ）。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（A）  3      （B）   2       （C）-3         （D）-2

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2、若則下列結(jié)論中不正確的是 （     ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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        (A).；  (B) ；

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        (C). ；  (D).

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3、方程=的實(shí)根有    (      )

      (A) 1個(gè)  (B) 2個(gè)  (C) 3個(gè)  (D) 無(wú)窮多個(gè)

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4、過(guò)點(diǎn)（－1，3）且垂直于直線的直線方程為      （    ）

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A．；B．；C．； D．

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（A）（-，-）  （B）（-，0）   （C）（0，）  （D）（，）

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6、已知復(fù)數(shù)z的模為2，則 |z－ｉ| 的最大值為（    ）

A．1            B.2           C.4          D.3

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7、已知過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（   ）
（A）π　　　  （B）π　　　　   （C）4π　　　　     （D）π

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8、對(duì)任意θ∈（0，）都有（   ）

（A）sin(sinθ)＜cosθ＜cos(cosθ)      （B） sin(sinθ)＞cosθ＞cos(cosθ)

（C）sin(cosθ)＜cos(sinθ)＜cosθ      （D） sin(cosθ)＜cosθ＜cos(sinθ)

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9、若.則下列結(jié)論中正確的是 （   ）

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10、在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（1，2）距離為1，且與點(diǎn)B（3，1）距離為2的直線共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。�   ）

A、1條               B、2條                       C、3條                D、4條

第二部分 非選擇題（共100分）

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二、填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分．每小題5分，滿分20分．

11、集合的真子集的個(gè)數(shù)是

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12、如果函數(shù)，那么

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 13、 橢圓上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____________________.

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14、(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 設(shè)Ｍ、Ｎ分別是曲線和上的動(dòng)點(diǎn)，則Ｍ、Ｎ的最小距離是　　

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15．(幾何證明選講選做題) 如圖，圓是的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，。則的長(zhǎng)______________，的長(zhǎng)______________．

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三．解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

16．（本小題滿分12分）

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設(shè)是平面上的兩個(gè)向量，且互相垂直.

   （1）求λ的值；

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   （2）若求的值.

 

 

 

 

 

 

 

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17．（本小題滿分12分）

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設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）．

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（Ⅰ）求方程有實(shí)根的概率；

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（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

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（Ⅲ）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程有實(shí)根的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分14分）

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已知三次函數(shù)在和時(shí)取極值，且．

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（Ⅰ） 求函數(shù)的表達(dá)式；

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（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

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（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?sub>，試求、應(yīng)滿足的條件。

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分14分）

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如圖，在四棱錐中，底面是正方形，

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底面，, 點(diǎn)是的中點(diǎn)，

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，且交于點(diǎn) .

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  （I） 求證： 平面；

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   （II） 求二面角的余弦值大��；

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   （III）求證：平面⊥平面.

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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雙曲線M的中心在原點(diǎn)，并以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.

（Ⅰ）求雙曲線M的方程；

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（Ⅱ）設(shè)直線： 與雙曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn).

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① 當(dāng)為何值時(shí)，使得?

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② 是否存在這樣的實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分14分）

把正奇數(shù)數(shù)列中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：

1

3    5

7    9   11

―    ―    ―    ―

    ―    ―    ―    ―    ―

    設(shè)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行、從左往右數(shù)第個(gè)數(shù)。

    （I）若，求的值；

（II）已知函數(shù)的反函數(shù)為  ，若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

 

 

 

 

 

 

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一．選擇題：DDCAB DDDAB

解析：1：∵，

∴

∴，

而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。故選

2：∵ ∴0<b<a<1. 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：,又∵ ∴選(D)

3:作y=與y=的圖象,從圖中可以看出:兩曲線有3個(gè)交點(diǎn),即方程有3個(gè)實(shí)根.選(C)


4:由斜率去篩選，則可排除(C)、(D)；再用點(diǎn)（－1，3）去篩選，代入(A)成立,

 ∴應(yīng)選(A).

 

5：取α= ±、±,代入求出sinα、tanα 、cotα 的值，易知α=-適合題設(shè)條件，∴應(yīng)選(B).


      M - i
              2 

6：由復(fù)數(shù)模的幾何意義，畫(huà)出右圖，可知當(dāng)圓上的點(diǎn)到M的距離最大時(shí)即為|z－ｉ|最大。所以選D

 

7： ∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r＝， 則S球＝4πR2≥4πr2＝π＞5π，故選（D）.

8：當(dāng)θ0時(shí)，sin(sinθ)0，cosθ1，cos(cosθ)cos1，故排除A，B.

當(dāng)θ時(shí)，cos(sinθ)cos1，cosθ0，故排除C，因此選D.

9：由于的含義是于是若成立，則有成立；同理，若成立，則也成立，以上與指令“供選擇的答案中只有一個(gè)正確”相矛盾，故排除.再考慮，取代入得，顯然，排除.故選.

10：選項(xiàng)暗示我們，只要判斷出直線的條數(shù)就行，無(wú)須具體求出直線方程。以A（1，2）為圓心，1為半徑作圓A，以B（3，1）為圓心，2為半徑作圓B。由平面幾何知識(shí)易知，滿足題意的直線是兩圓的公切線，而兩圓的位置關(guān)系是相交，只有兩條公切線。故選B。

 

二．填空題：11、；12、； 13、或；14、－1；15、4，；

解析：

11：　，顯然集合M中有90個(gè)元素，其真子集的個(gè)數(shù)是，應(yīng)填.

12：容易發(fā)現(xiàn)，于是   原式＝，應(yīng)填

13：記橢圓的二焦點(diǎn)為，有

則知

    顯然當(dāng)，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25.

    故應(yīng)填或

14.（略）

15.（略）

三．解答題：

16.解：（1）由題設(shè)，得

-----------------3分

因?yàn)?sub>與垂直   即

. 又，故，∴的值為2.   ------------------6分

（2）當(dāng)垂直時(shí)，

 ------------------8分

，則------------------10分

  ------------------12分

17.解:（I）基本事件總數(shù)為，

若使方程有實(shí)根，則，即。------------------2分

當(dāng)時(shí)，；  當(dāng)時(shí)，； ------------------3分

 當(dāng)時(shí)，；   當(dāng)時(shí)，；  ------------------4分

 當(dāng)時(shí)，；     當(dāng)時(shí)，,      ------------------5分

目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為

 因此方程 有實(shí)根的概率為------------------6分

(II)由題意知，，則 ，，

故的分布列為

0

1

2

P

的數(shù)學(xué)期望    ------------------10分

(III)記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M，“方程 有實(shí)根” 為事件N，則，，   .------------------12分

18.解：（Ⅰ），                            

由題意得，是的兩個(gè)根，

解得，．                      ------------------2分

再由可得．

∴．  ------------------4分

（Ⅱ），

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；------------------5分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；------------------6分
當(dāng)時(shí)，．∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；------------------7分
在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)．
函數(shù)的極大值是，極小值是．         ------------------9分

（Ⅲ）函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位得到，

所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?sub>（）．-------------10分

而，∴，即．                           

于是，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?sub>．------------------12分

令得或．

由的單調(diào)性知，，即．

綜上所述，、應(yīng)滿足的條件是：，且------------------14分

 

19.（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié).

是正方形，∴ 是的中點(diǎn). ----------1分

是的中點(diǎn)， ∴是的中位線.  ∴.  ----------2分

 又∵平面， 平面， ----------3分

∴平面.------------------4分

（II）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

由故設(shè)，則

.  ----------6分

*底面，

∴是平面的法向量，．----------7分

設(shè)平面的法向量為,

,

 

則  即 

 ∴     令,則.  ----------9分

∴,

∴二面角的余弦值為． ------------------10分

（III）， ，

----------11分

   又且.----------12分

.  又平面    ----------13分

 ∴平面⊥平面.     ------------------14分

 

20.解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，

 又拋物線的準(zhǔn)線為：.    ----------2分

設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有，

故，又.

∴雙曲線M的方程為. ----------4分

（Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)

聯(lián)立方程組 消去y得  ，-------5分

∵、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根， ∴

∴，

從而有，.   ----------7分

又，

∴.

①     若，則有 ，即 .

∴當(dāng)時(shí)，使得.    ----------10分

② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則必有 ，

因此，當(dāng)m=0時(shí)，不存在滿足條件的k；

當(dāng)時(shí)，由 得

  

∵A、B中點(diǎn)在直線上，

∴，代入上式得

，又， ∴----------13分

將代入并注意到，得 .

∴當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱----------14分

 

21.解（I）三角形數(shù)表中前行共有個(gè)數(shù)，

 第行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中的第項(xiàng)。

  故第行最后一個(gè)數(shù)是        

  因此，使得的m是不等式的最小正整數(shù)解。----------4分

  由得

  ----------6分

于是，第45行第一個(gè)數(shù)是 

     ----------7分

（II），。 

故        ----------9分

 第n行最后一個(gè)數(shù)是，且有n個(gè)數(shù)，若將看成第n行第一個(gè)數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列，故。

  故

   ，

    兩式相減得：

                 

        ----------13分

         ----------14分


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