專題17 記憶能力與運算能力

一 記憶能力

記憶是系統化知識,形成方法,思想的先決條件,因而我們對記憶能力應引起足夠的重視.

下面來試試你的記憶能力:

1．求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，你標注了該函數的定義域了嗎？

2．函數與其反函數之間的一個有用的結論：

3．原函數在區(qū)間上單調遞增，則一定存在反函數，且反函數也單調遞增；但一個函數存在反函數，此函數不一定單調．

4． 判斷一個函數的奇偶性時，你注意到函數的定義域是否關于原點對稱這個必要非充分條件了嗎？

5. 你知道函數的單調區(qū)間嗎？（該函數在或上單調遞增；在或上單調遞減）這可是一個應用廣泛的函數！

6.  解對數函數問題時，你注意到真數與底數的限制條件了嗎？（真數大于零，底數大于零且不等于1）字母底數還需討論呀.

7.  你知道判斷對數符號的快捷方法嗎？

8.  “實系數一元二次方程有實數解”轉化為“”，你是否注意到必須；當a=0時，“方程有解”不能轉化為．若原題中沒有指出是“二次”方程、函數或不等式，你是否考慮到二次項系數可能為零的情形？

9. 在解三角問題時，你注意到正切函數、余切函數的定義域了嗎？你注意到正弦函數、余弦函數的有界性了嗎？

10. 在三角中，你知道1等于什么嗎？（ 這些統稱為1的代換) 常數 “1”的種種代換有著廣泛的應用．

11.  你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉化出現特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次）

12. 你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？()

13. 在用反三角函數表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及意義？

  ①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是.

  ②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是．

  ③反正弦、反余弦、反正切函數的取值范圍分別是．

14. 分式不等式的一般解題思路是什么？（移項通分）

15. 解指對不等式應該注意什么問題？（指數函數與對數函數的單調性, 對數的真數大于零.）

16. 利用重要不等式 以及變式等求函數的最值時，你是否注意到a，b（或a ，b非負），且“等號成立”時的條件，積ab或和a＋b其中之一應是定值？

17.  在解含有參數的不等式時，怎樣進行討論？（特別是指數和對數的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是……．

18. 等差數列中的重要性質：若，則；

   等比數列中的重要性質：若，則．

19. 你是否注意到在應用等比數列求前n項和時，需要分類討論．（時，；時，）

20. 等差數列的一個性質：設是數列的前n項和，為等差數列的充要條件是                    

 （a, b為常數）其公差是2a.

21. 你知道怎樣的數列求和時要用“錯位相減”法嗎？（若，其中是等差數列，是等比數列，求的前n項的和）

22. 用求數列的通項公式時，你注意到了嗎？

23. 你還記得裂項求和嗎？（如 .）

24. 解排列組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合．

25. 解排列組合問題的規(guī)律是：相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；定序問題倍縮法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少問題間接法．

26. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、三垂線法、垂面法）三垂線法：一定平面，二作垂線，三作斜線，射影可見.

27. 求點到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積法）

28. 求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補法、等積變換法）

29. 你知道三垂線定理的關鍵是什么嗎？（一面、四線、三垂直、立柱即面的垂線是關鍵）一面四直線，立柱是關鍵，垂直三處見

30. 設直線方程時，一般可設直線的斜率為k，你是否注意到直線垂直于x軸時，斜率k不存在的情況？（例如：一條直線經過點，且被圓截得的弦長為8，求此弦所在直線的方程。該題就要注意，不要漏掉x+3=0這一解.）

31. 定比分點的坐標公式是什么？（起點，中點，分點以及值可要搞清）

32.   對不重合的兩條直線，，有

；  ．

33. 直線在坐標軸上的截矩可正，可負，也可為0.

34. 處理直線與圓的位置關系有兩種方法：（1）點到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯立，判別式.　一般來說，前者更簡捷．

35. 處理圓與圓的位置關系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關系.

36. 在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形.

37.還記得圓錐曲線的兩種定義嗎？解有關題是否會聯想到這兩個定義？

38.還記得圓錐曲線方程中的a,b,c,p,的意義嗎？

39. 在利用圓錐曲線統一定義解題時，你是否注意到定義中的定比的分子分母的順序？

40．離心率的大小與曲線的形狀有何關系？（圓扁程度，張口大�。┑容S雙曲線的離心率是多少？

41. 在用圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數是否為零？判別式的限制．（求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行）.

42. 橢圓中，注意焦點、中心、短軸端點所組成的直角三角形．（a，b，c）

43. 通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦.

44.只要的求導公式有哪些?

  (1),(2),(3),(4),(5),

(6),(7),(8),(9),

(10),(11),(12).

45.  解答選擇題的特殊方法是什么？(順推法，估算法，特例法，特征分析法，直觀選擇法，逆推驗證法等等)

46. 解答開放型問題時，需要思維廣闊全面，知識縱橫聯系．

47. 解答信息型問題時，透徹理解問題中的新信息，這是準確解題的前提．

48. 解答多參型問題時，關鍵在于恰當地引出參變量,　想方設法擺脫參變量的困繞．這當中，參變量的分離、集中、消去、代換以及反客為主等策略，似乎是解答這類問題的通性通法．

二 運算能力

  每年高考都說要控制運算量,但結果是每年都控制不了.理由很簡單:有數學,就有運算.

不厭其繁的運算,可以培養(yǎng)我們的耐性,和堅忍不拔的性格.

問題1任一分數都可以寫成有限小數或無限循環(huán)小數的形式,你相信嗎?試幾個看看.

(1)=                 ;

(2)=                                       ;

(3)請你自己寫一個試試:                                               .

問題2已知三角形的三個頂點分別是,

求角平分線AM所在直線的方程.

問題3(如圖)已知正四棱錐的各條棱長均為1,

E,F分別為VB,VC的中點.

(I)求平面PAB與平面PBC所成的角的大小;

(II)求點A到平面PBC的距離;

(III)求直線AE與平面PBC所成的角的大小;

(IV)求異面直線AE與BF所成的角的大小;

問題4某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測

點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點

到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為

340m/ s :相關各點均在同一平面上)

問題5設直線與橢圓相交于A、B兩點，又與雙曲線x²?y²=1相交于C、

D兩點,C、D三等分線段AB. 求直線的方程.

問題解答:問題1(略).問題2

解(一):可得,,設直線AM的斜率為,則

,即,得,

有,解得,(舍去)

得角平分線AM的方程為:

即.

解(二):,它的單位向量

,它的單位向量

則AM與(+,)同向

得,(下同解一).

問題3解:(I)(如圖)以正方形ABCD的中心為原點,建立空間直角坐標系,則

得,,,

,,

設平面PBC的法向量為,則,

有,得,有,則

得,同理得平面PBC的法向量,則

,

而平面PAB與平面PBC所成的角為鈍角,所以它的大小為.

(II)由,設與所成的角為,則

則點A到平面PBC的距離.

(III)可得E,有,設與所成的角為,則

,

得AE與平面PBC所成的角為.

(IV)可得F,得,設與所成的角為,則

得AE與BF所成的角為.

問題4 解：如圖，

以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，

依題意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北45⁰距中心處.

問題5解：首先討論l不與x軸垂直時的情況，設直線l的方程為

y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交點為：

依題意有，由

若，則與雙曲線最多只有一個交點，不合題意，故

由

故l的方程為

(ii)當b=0時，由(1)得

由

故l的方程為

再討論l與x軸垂直的情況.

設直線l的方程為x=c,分別代入橢圓和雙曲線方程可解得，

綜上所述，故l的方程為、和