專題16 空間向量 簡單幾何體

一 能力培養(yǎng)

1,空間想象能力         2,數(shù)形結(jié)合思想         3,轉(zhuǎn)化能力         4,運(yùn)算能力

二 問題探討

問題1(如圖)在棱長為1的正方體ABCD中,

(1)求異面直線B與C所成的角的大小;

(2)求異面直線B與C之間的距離;

(3)求直線B與平面CD所成的角的大小;

(4)求證:平面BD//平面C;

(5)求證:直線A平面BD;               (6)求證:平面AB平面BD;

(7)求點(diǎn)到平面C的距離;              (8)求二面角C的大小.

問題2已知斜三棱柱ABCD的側(cè)面AC

與底面垂直,,,,

且AC, A=C.

(1)求側(cè)棱A和底面ABC所成的角的大小;

(2)求側(cè)面AB和底面ABC所成二面角的大小;

(3)求頂點(diǎn)C到側(cè)面AB的距離.

三 習(xí)題探討

選擇題

1甲烷分子由一個(gè)碳原子和四個(gè)氫原子組成,其空間構(gòu)型為一正四面體,碳原子位于該正四

面體的中心,四個(gè)氫原子分別位于該正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)上.若將碳原子和氫原子均視為一

個(gè)點(diǎn)(體積忽略不計(jì)),且已知碳原子與每個(gè)氫原子間的距離都為,則以四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)

的這個(gè)正四面體的體積為

A,          B,          C,            D,

2夾在兩個(gè)平行平面之間的球,圓柱,圓錐在這兩個(gè)平面上的射影都是圓,則它們的體積之

比為

A,3:2:1              B,2:3:1             C,3:6:2            D,6:8:3

3設(shè)二面角的大小是,P是二面角內(nèi)的一點(diǎn),P點(diǎn)到的距離分別為1cm,

2cm,則點(diǎn)P到棱的距離是

A,         B,        C,        D,

4如圖,E,F分別是正三棱錐ABCD的棱AB,BC

的中點(diǎn),且DEEF.若BC=,則此正三棱錐的體積是

A,                   B,

C,                 D,

5棱長為的正八面體的外接球的體積是

A,              B,             C,           D,

填空題

6若線段AB的兩端點(diǎn)到平面的距離都等于2,則線段AB所在的直線和平面

 的位置關(guān)系是                     .

7若異面直線所原角為,AB是公垂線,E,F分別是異面直線上到A,B距離為

2和平共處的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),線段AB的長為                   .

8如圖(1),在直四棱柱中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?sub>滿足條件           

時(shí),有C(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)

9如圖(2),是一個(gè)正方體的展開圖,在原正方體中,有下列命題:

①AB與EF所連直線平行;         ②AB與CD所在直線異面;

③MN與BF所在直線成;       ④MN與CD所在直線互相垂直.

其中正確命題的序號為        .(將所有正確的都寫出)

解答題

10如圖,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分別交AB,AC于D,E.將沿

 DE折起來使得A到,且為的二面角,求到直線BC的最小距離.

11如圖,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.

(1)問BC邊上是否存在點(diǎn)Q使得PQQD?并說明理由;

(2)若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使得PQQD,求這時(shí)二面角Q的正切.

問題1(1)解:如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,有(1,0,1),B(1,1,0),(1,1,1),C(0,1,0)

得,,設(shè)與所成的角為,則

,又,得

所以異面直線B與C所成的角的大小為.

(2)設(shè)點(diǎn)M在B上,點(diǎn)N在C上,且MN是B與C的公垂線,令M,

N,則

由,得,解得,

所以,得,即異面直線B與C之間的距離為.

(3)解:設(shè)平面CD的法向量為,而,由,,

有,得,于是,

設(shè)與所成的角為,則

,又,有.

所以直線B與平面CD所成的角為.

(4)證明:由//C,C平面C,得//平面C,

又BD//,平面C,得BD//平面C,

而,于是平面BD//平面C.

(5)證明:A(1,0,0),(0,1,1),,,

有及,得

,,,

于是,直線A平面BD.

(6)證明:由(5)知平面BD,而平面AB,得平面AB平面BD.

(7)解:可得C=C==,有

由,得,即,得

所以點(diǎn)到平面的距離為.

(8)解:由(3)得平面CD的法向量為=,它即為平面的法向量.

設(shè)平面的法向量為,則,

又

由,得,所以

設(shè)與所成的角為,則

所以二面角的大小為.

問題2解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由題意知A,B(0,0,0),C(0,2,0).

又由面AC面ABC,且A=C,知點(diǎn),,

平面ABC的法向量.

(1),得

于是,側(cè)棱和底面ABC所成的角的大小是.

(2)設(shè)面AB的法向量,則由

得,.于是,,又平面ABC的法向量,得

,有.

所以側(cè)面AB和底面ABC所成二面角的大小是.

(3)從點(diǎn)C向面AB引垂線,D為垂足,則

所以點(diǎn)C到側(cè)面AB的距離是.

習(xí)題

1過頂點(diǎn)A,V與高作一截面交BC于點(diǎn)M,點(diǎn)O為正四面體的中心,為底面ABC的中心,

設(shè)正四面體VABC的棱長為,則AM==VM,=,

,,得

在中,,即,得.

則,有.選B.

溫馨提示:正四面體外接球的半徑:內(nèi)切球的半徑=.

2 ,選B.

3設(shè)PA棱于點(diǎn)A,PM平面于點(diǎn)M,PN平面于點(diǎn)N,PA=,,則

,得,有或(舍去),

所以,選B.

4由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.

由對稱性得,于是.

,選B.

5可由兩個(gè)相同的四棱錐底面重合而成,有,得,

外接球的體積,選D.

6當(dāng)時(shí),AB//;當(dāng)時(shí),AB//或AB;當(dāng)時(shí),AB//或與斜交.

7由,得

(1)當(dāng)時(shí),有,得;

(2)當(dāng)時(shí),有,得.

8 ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)

9將展開的平面圖形還原為正方體,可得只②,④正確.

10解:設(shè)的高AO交DE于點(diǎn),令,

由AO=,有,

在中,,有

得.

當(dāng)時(shí),到直線BC的最小距離為6.

11解:(1)(如圖)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則

Q,P(0,0,1),D得,

由,有,得          ①

若方程①有解,必為正數(shù)解,且小于.由,,得.

(i)當(dāng)時(shí),BC上存在點(diǎn)Q,使PQQD;

(ii)當(dāng)時(shí), BC上不存在點(diǎn)Q,使PQQD.

(2)要使BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使PQQD,則方程①有兩個(gè)相等的實(shí)根,

這時(shí),,得,有.

又平面APD的法向量,設(shè)平面PQD的法向量為

而,,

由,得,解得

有,則

,則

所以二面角的正切為.