東北三省四市長(zhǎng)春、哈爾濱、沈陽、大連第一次聯(lián)合考試

數(shù)    學(xué)(理科)

    本試卷分為第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁，試卷滿分150分，

做題時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．

注意事項(xiàng)：

    1．答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形

       碼區(qū)域內(nèi)．

    2．選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，

       字體工整、筆跡清楚．

    3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

       稿紙、試題卷上答題無效．

    4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀．

第I卷(選擇題，共60分)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分。共60分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中。只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上)

試題詳情

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二、填空題(本大題共4小題，每小題5分。共20分．把正確答案填在答題卡中的橫線上)

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三、解答題(本大題共6小題。共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

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說明：

    一、本解答給出一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題

的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．

    二、對(duì)計(jì)算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的

內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如

果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．

    三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得累加分．

    四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù)．

一、選擇題(每小題5分，滿分60分)

1．C   2．D   3．D   4．C   5．B   6．B   7．A   8．D   9．B   10．B  11．A  12．C

簡(jiǎn)答與提示：

1．，故選C.

2．∵

   ∴，故選D．

3．因?yàn)樗膫�(gè)命題均有線在面內(nèi)的可能，所以均不正確，故選D．

4．，故選C．

5．利用疊加法及等比數(shù)列求和公式，可求得，故選B.

6．以為直徑的圓與圓的公共弦即為所求，直線方程為，故

選B．

7．，將的圖象先向左平移個(gè)單位得到

的圖象，再沿軸將橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到的圖象，故選A．

8．在點(diǎn)(0，一1)處目標(biāo)函數(shù)取得最大值為9，故選D．

9．先在后三位中選兩個(gè)位置填兩個(gè)數(shù)字“0”有種填法，再排另兩張卡片有種排

   法，再?zèng)Q定用數(shù)字“9”還是“6”有兩種可能，所以共可排成個(gè)四位數(shù)，

   故選B．

10．依題意，∴，故選B．

11．因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以

恒成立，即為減函數(shù)(切線斜率減小)，故選A．

12．，

∵，∴，當(dāng)A、F、B

三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，故選C．

二、填空題(每題5分．共20分}

  13．3      14．      15．28      16．①③

  簡(jiǎn)答與提示：

  13．∵V_正四面體 ，∴.

  14．∵，∴，∴．

  15．∵，

    ∴，∴．

  16．∵，

      ∴，

      ∵，

      ∴，故①③正確．

三、解答題(滿分70分)

  17．本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)圖象及性質(zhì)．

      解：(1)∵

                    (4分)

             ∴．

          (2)當(dāng)，即時(shí)，，       ，    (6分)

             當(dāng)，即，，

             ∴函數(shù)的值域?yàn)閇，1]．                              (10分)

  18．本小題主要考查概率的基本知識(shí)與分類思想，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的

能力．

      解．(1)中一等獎(jiǎng)的概率為，                         (2分)

            中二等獎(jiǎng)的概率為，                          (4分)

中三等獎(jiǎng)的概率為，                       (6分)

∴搖獎(jiǎng)一次中獎(jiǎng)的概率為                    (7分)

(2) 由(1)可知，搖獎(jiǎng)一次不中獎(jiǎng)的概率為            (9分)

            設(shè)搖獎(jiǎng)一次莊家所獲得的金額為隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的分布列為：

            ∴

∴搖獎(jiǎng)一次莊家獲利金額的期望值為元                      (12分)

19．本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、異面直線所成角、二面角等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力以及空間向量的應(yīng)用．

解法一：(1)證明：

               取中點(diǎn)為，連結(jié)、，

               ∵△是等邊三角形，

               ∴

               又∵側(cè)面底面，

               ∴底面，

               ∴為在底面上的射影，

               又∵，

               ，

               ∴，

                ∴，

                ∴，

                ∴．

(2)取中點(diǎn)，連結(jié)、，                            (6分)

                ∵．

                ∴．

                又∵，，

                ∴平面，

∴，

∴是二面角的平面角.                     (9分)

∵，，

∴．

∴，

∴，

∴，

∴二面角的大小為                           (12分)

解法二：證明：(1) 取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連結(jié)，

                ∵△是等邊三角形，

∴，

又∵側(cè)面底面，

∴底面，

∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

如圖，    (2分)

∵，△是等邊三角形，

∴，

∴．

∴．

∵

∴．

(2)設(shè)平面的法向量為

   ∵

   ∴

令，則，∴               (8分)

設(shè)平面的法向量為，              

∵，

∴，

令，則，∴         (10分)

∴，

∴，

                ∴二面角的大小為.                          (12分)

20．本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡的求法以及綜合解題能力

解：(1)設(shè)，則

    ∵,∴，∴，               (3分)

又，∴

∴曲線的方程為                                     (6分)

(2)由(1)可知， (4，0)為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為

，由消去得，，

∴          (9分)

∴

       ，

當(dāng)，即時(shí)取得最大值，

此時(shí)直線方程為.                                (12分)

21．本小題主要考察等差數(shù)列定義、通項(xiàng)、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考察綜合分析問題的能力和推理論證能力．

解：(1)∵，

       ∴                                          (2分)

           ∴，   

           ∵  ∴.                              (4分)

           ∵∴，∴，

           ∴，

           ∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

           ∴，∴，

           ∴．                                        (7分)

(2)，

  ∵

 

           ∴                                                (10分)

           當(dāng)時(shí)，

           ，

           當(dāng)時(shí)，，

           ∴.                                                (12分)

22．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)

   的方法，考查分析問題和解決問題的能力．

解：(1)∵

∴，                                       (1分)

設(shè).

∴，

∴(1+z)在上為減函數(shù)．                             (3分)

∴，

∴，

∴函數(shù)在上為減函數(shù)．                       (5分)

(2)在上恒成立，

          在上恒成立，                           (6分)

          設(shè)，則，

          ∴，                                              (7分)

          若，則時(shí)，