絕密★啟用前(命題人:鄢文俊 劉學勇)
湖北省荊州中學2009屆高三5月模擬考試
數(shù) 學(理工農醫(yī)類)
說明:本試卷共4面,滿分150分,考試時間120分鐘
第 Ⅰ 卷(共50分)
一、選擇題:(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知集合,則( )
A. B. C. D.
2.設復數(shù),則復數(shù)在復平面內對應的點位于( )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知等差數(shù)列的前n項和為,且滿足,則等于( )
A. B. C.1 D.2
4.某高三年級的三個班級去甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐,其中工廠甲必須有班級去,每班去何工廠可自由選擇,則不同的分配方案是 ( )
A. 16種 B. 18種 C. 37種 D. 48種
5.若函數(shù)的圖象向右平移()個單位后,所得到的圖象關于y軸對稱,則的最小值為( )
A. B. C. D.
6.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不相同的交點,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7.如果把直線向左平移1 個單位,再向下平移2個單位,便與圓
相切,則實數(shù)的值是( )
A.13或3
B.13或
8.已知點P是橢圓上的動點,為橢圓的兩個焦點,是坐標原點,若是的角平分線上一點,且,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9. 正四面體A―BCD中,E在棱AB上,F(xiàn)在棱CD上,使得,設,與分別表示EF與AC,BD所成的角,則( )
A.是(0,+∞)上的增函數(shù) B.是(0,+∞)上的減函數(shù)
C.在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減 D.是(0,+∞)上的常數(shù)函數(shù)
10. 定義在上的函數(shù)滿足,現(xiàn)給定下列幾個命題:
①不可能是奇函數(shù);②;③不可能是常數(shù)函數(shù);④若,則不存在常數(shù),使得成立.在上述命題中錯誤命題的個數(shù)為 ( )
A. 1
B.
第 Ⅱ 卷(非選擇題 共100分)
二、填空題:(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡相應位置上.)
11.已知方程表示橢圓,則的取值范圍為 .
12.將函數(shù)向右平移一個單位后是一個偶函數(shù),則的單調遞減區(qū)間為 .
13.已知是數(shù)列中的三個非負項,則 的最小值為 .
14.函數(shù)()是常數(shù),其圖象是一條直線,稱這個函數(shù)為線性函數(shù).而對于非線性可導函數(shù),在已知點附近一點的函數(shù)值,可以用如下方法求其近似代替值:.利用這一方法,對于實數(shù),取,則的近似代替值 .(填“>”或“<”或“=”)
15.如右圖所示的的數(shù)表,滿足每一行都是公差
為的等差數(shù)列,每一列都是公比為的等比數(shù)列.
已知,則 .
三、解答題:(本大題共6小題,共75分. 解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)
16.(本題滿分12分) 已知向量,函數(shù).
(1)將f(x)寫成的形式,并求其圖象的對稱中心;
(2)如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對的角為x,試求x的取值范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.
17.(本題滿分12分)現(xiàn)從放有標號分別為數(shù)字1、2、3、4、5的5 張卡片的盒子中,有放回地先后取兩張卡片,設兩卡片的標號分別為,且設.
(1)求隨機變量的最大值,并求取得此最大值的概率;
(2)求隨機變量的分布列及其方差.
18.(本題滿分12分)如圖,四面體的各個面都是直角三角形,已知,
,.
(1)若,求證:;
(2)求四面體的表面積.
19.(本題滿分13分)自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源,為持續(xù)利用這一資源,需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量,n∈N*,且x1>0. 不考慮其它因素,設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比,死亡量與xn2成正比,這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a,b,c.
(Ⅰ)求xn+1與xn的關系式;
(Ⅱ)猜測:當且僅當x1,a,b,c滿足什么條件時,每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明)
(Ⅲ)設a=2,c=1,為保證對任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,則捕撈強度b的最大允許值是多少?證明你的結論.
20.(本題滿分13分)雙曲線C與橢圓有相同的焦點,直線y=為C的一條漸近線.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點P(0,4)的直線,交雙曲線C于A,B兩點,交x軸于Q點(Q點與C的頂點不重合).當,且時,求Q點的坐標.
21.(本題滿分13分)已知函數(shù),
(1)試確定的單調性;
(2)數(shù)列滿足,且,表示的前項之和
①求數(shù)列的通項; ②求證:.
‘
2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(荊中模擬卷)
1~10:C C B C A B A B D A
11、 12、 13、 14、>
15、 (提示:15.,又)
16.解:(1)
………3(分)
由=0即
即對稱中心為 …………6(分)
(2)已知b2=ac
即的值域為綜上所述,,故值域為…12(分)
17.解:(1)的最大值為6,此時有或,故所求的概率為
. …………5(分)
(2)的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6.其分布列為:
0
1
2
3
4
5
6
……………10(分)
……12(分)
18.解:(1), 又
…………5(分)
(2)當時,則
其表面積
當與不垂直時,則,否則由(1)知,可得(矛盾).
當時,與不能垂直,否則
,從而,與矛盾.
,從而可得 …………①
由得, …………②
根據(jù)①、②得:,從而導致矛盾.
,從而得到
當時,
當時,
,即四面體的各個面是全等的三角形.
其表面積為. ……………12(分)
19.解:(I)從第n年初到第n+1年初,魚群的繁殖量為axn,被捕撈量為bxn,死亡量為
…………(3分)
(II)若每年年初魚群總量保持不變,則xn恒等于x1, n∈N*,從而由(*)式得
因為x1>0,所以a>b.
猜測:當且僅當a>b,且時,每年年初魚群的總量保持不變. ……(6分)
(Ⅲ)若b的值使得xn>0,n∈N*, 由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知0<xn<3-b, n∈N*, 特別地,有0<x1<3-b. 即0<b<3-x1,而x1∈(0, 2),所以
由此猜測b的最大允許值是1. ……………(10分)
下證 當x1∈(0, 2) ,b=1時,都有xn∈(0, 2), n∈N*
①當n=1時,結論顯然成立.
②假設當n=k時結論成立,即xk∈(0, 2),則當n=k+1時,xk+1=xk(2-xk)>0.
又因為xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0, 2),故當n=k+1時結論也成立.
由①、②可知,對于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).
綜上所述,為保證對任意x1∈(0, 2), 都有xn>0, n∈N*,則捕撈強度b最大允許值是1.…(13分)
20. 解:(1)設雙曲線方程為,由橢圓求得兩焦點為,
對于雙曲線,又為雙曲線的一條漸近線
解得 ,
雙曲線的方程為 ……………(5分)
(2)解法一:
由題意知直線的斜率存在且不等于零。
設的方程:,則
在雙曲線上,
同理有:
若則直線過頂點,不合題意.
是二次方程的兩根.
,
此時.所求的坐標為. …………(13分)
解法二:由題意知直線的斜率存在且不等于零
設的方程:,則.
,.
,,,
又,,即
將代入得
,否則與漸近線平行。。
.
21.(1)
故在上是單調遞增函數(shù),在上是單調遞減函數(shù) ……4(分)
(2)①
是公差為1的等差數(shù)列,且首項為
故 ……………9(分)
②由(1)知,當時,在是單調遞減函數(shù),又,,即
.
………13(分)
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