廣東省湛江師范學(xué)院附中2009年高考模擬試題(13)

數(shù)學(xué)

一.選擇題:

1.設(shè)全集,集合,則=

A.        B.         C.         D. 

2.若x,y∈R,為虛數(shù)單位,且,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在

A. 第一象限           B.  第二象限        C. 第三象限         D. 第四象限

3.一個幾何體的三視圖如右圖,其中主視圖和左視圖都是邊長為1的

正三角形,那么這個幾何體的側(cè)面積為

   A.         B.      C.      D.

4.首項為的等差數(shù)列,從第項開始為正,則公差的取值范圍是

A.           B.            C.        D. 

5.設(shè)雙曲線的兩條漸近線與直線x=圍成的三角形區(qū)域(包含邊界)為D,點

為D內(nèi)的一個動點,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為

    A.-2                B.-         C.0             D.

6.函數(shù)),對任意,且,那么

等于

A.                B.           C.              D.

7.下列命題:①;②;③ ;④“”的充要條件

是“,或”. 中,其中正確命題的個數(shù)是

A. 0                  B. 1                C. 2                D. 3

8.設(shè),則關(guān)于的方程上有兩個零點的概率為

A.                  B.                C.                D. 

二.填空題:

9.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點,則實數(shù)的值        .

10.的展開式中的常數(shù)項為               .

11.在△中,所對的邊分別為,且,則∠的大小為        

12.如下圖,給出了一個程序框圖,其作用是輸入的值,輸出相應(yīng)的的值,若要使輸入的的值與輸出的的值相等,則這樣的的值的集合為            .

選做題: 13~15題,考生只能從中選做兩題 

13.極坐標(biāo)系中,曲線相交于點,則線段的長度為       

14.已知函數(shù),若對任意實數(shù)都有成立,則實數(shù)的取值范圍為           .

15.如圖,AC為⊙O的直徑,弦于點,,則的值為      .

 

 

 

 

 

 

 

 

三.解答題:本大題共6小題,共80分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(13分)設(shè)向量,向量,

(1)若向量,求的值;

(2)求的最大值及此時的值.

 

17(13分)某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量(單位:噸)進(jìn)行統(tǒng)計,最近100周的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:

周銷售量(單位:噸)

2

3

4

頻數(shù)

20

50

30

(1)根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果,求周銷售量分別為2噸,3噸和4噸的頻率;

(2)已知每噸該商品的銷售利潤為2千元,表示該種商品兩周銷售利潤的和(單位:千元),若以上述頻率作為概率,且各周的銷售量相互獨立,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

 

 

18.(12分) 已知函數(shù)

   (1)當(dāng)時,求函數(shù)在點處的切線方程及的單調(diào)區(qū)間;

   (2)求函數(shù)f(x)的極值.

 

19.(14分)正三棱柱的所有棱長均為2,P

是側(cè)棱上任意一點.

(1)求正三棱柱的體積;

(2)判斷直線與平面是否垂直,請證明你

的結(jié)論;

(3)當(dāng)時,求二面角的余弦值.  

 

 

20.(14分)已知曲線上任一點到直線與點的距離相等.

(1)求曲線的方程;

(2)設(shè)直線與曲線C交于點A,B,問在直線上是否存在與無關(guān)的定

M,使得被直線平分,若存在,求出點M的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

 

 

21.(14分)已知點在直線上,點

……,順次為軸上的點,其中,對

于任意,點構(gòu)成以為頂角的等腰三角形, 設(shè)的面積為

(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;

(2)求;(用的代數(shù)式表示)

(3)設(shè)數(shù)列項和為,判斷()的大小,并證明你的結(jié)論;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DAAC  BACB    2.由,解得,所以對應(yīng)的點在第一象限.

3.幾何體為圓錐,母線長為,底面半徑為,則側(cè)面積為

4.,解得             5.可行域三角形的三個頂點坐標(biāo)為

,將這三點代入即可求得Z的最小值.

6.由得:,即1是的周期,而為奇函數(shù),則

7.僅②③正確,③是“”; ④的充要條件是

8.由,即,再通過畫圖,利用積分求出合乎條件的區(qū)域面積為,而所有可能的區(qū)域面積為1,由幾何概型的概率為其面積的比值即可得出.

題號

9

10

11

12

13

14

15

答案

9.因為,則,而,所以.10.由楊輝三角或二項展開式即得結(jié)論.

11.由正弦定理得:,而,兩式相乘得,從而

12.依題意得,或,或,解得,或,.

13.將其化為直角坐標(biāo)方程為,和,代入得:

14.由題設(shè) 對任意實數(shù)均成立,由于,則

15.由射影定理得,,

則cos∠ACB=sin∠A=sin∠D=.

16.解:(1)由于,則,   ………………3分

顯然,兩邊同時除以得,;    ……………6分

(2)由于,   ………………8分

,                

    ………………10分

由于,則,        ………………11分

,即時,最大值為.  ………………13分

說明:本題第(1)問可以利用解析幾何兩直線垂直的條件求出,第(2)問可以結(jié)合平面幾何知識得出.

17. 解:(1)周銷售量為2噸,3噸和4噸的頻率分別為0.2,0.5和0.3.  ……3分

(2)的可能值為8,10,12,14,16,               ……4分

P(=8)=0.22=0.04,    P(=10)=2×0.2×0.5=0.2,     ……6分

P(=12)=0.52+2×0.2×0.3=0.37,   P(=14)=2×0.5×0.3=0.3,  

P(=16)=0.32=0.09.                             ……9分

8

10

12

14

16

0.04

0.2

0.37

0.3

0.09

的分布列為

 

 

……11分

=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元)  ……13分

說明:第(1)問每個頻率1分,第(2)問一種情況的概率1分,分布列正確2分,期望2分.

18.解:(1)當(dāng)a = -1時,     ……1分∴

函數(shù)在點x = 1處的切線方程為y-1= 3(x-1),即y =3x -2      ……3分

當(dāng) 時,,∴函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),

的定義域為,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,不存在遞減區(qū)間.…5分

(2)函數(shù)的定義域為(0,+∞),,……6分

①當(dāng)時,在(0,+∞)上是增函數(shù);函數(shù)無極值……8分

②當(dāng)時,由,得,            ……9分

,                     ……10分

∴當(dāng)時,有極小值   ……11分

綜上,當(dāng)時,f(x)無極值;當(dāng)a>0時,f(x)有極小值,無極大值 …12分

19.(1)     ……3分

(2)建立如圖空間坐標(biāo)系,設(shè),   ……4分

的坐標(biāo)分別為       ……6分

不垂直

∴直線不可能與平面垂直 ……8分

(3),由,得

 

 

是面的法向量    …10分

設(shè)面的法向量為,

    ……12分                                         

設(shè)二面角的大小為,則

∴二面角的余弦值大小為           ……14分

說明:有些結(jié)果由于法向量的方向問題,出現(xiàn)余弦值為負(fù)值者扣1分.

20.解:依題意,曲線為拋物線,且點為拋物線的焦點,為其準(zhǔn)線, 2分

則拋物線形式為,由,得 ,     ……4分

則曲線的方程為.             ……6分

(2)設(shè),,假設(shè)存在點滿足條件,則 ……8分

       ①     ……9分

, ,                    ②

整理得               

即為:      ③    ……11分

得:,

,    ④                  ……12分

將④代入③得:,即.  ……13分

因此,存在點滿足題意.                                        ……14分

21. 解:(1)由于點在直線上,

,     ……1分    因此,所以數(shù)列是等差數(shù)列   ……2分

(2)由已知有,那么                 ……3分

同理以上兩式相減,得,       ……4分                                                                                          

成等差數(shù)列;也成等差數(shù)列,                 

,                          ……5分

         ……6分

,則,

  ……8分

(3)由(1)得:,    ……9分

   

,則,               ……11分

                                

 

                    ……12分

由于 ,而,

, 從而  ,      ……13分  

同理:

……

以上個不等式相加得:

,從而         …14分

說明:(1)也可由數(shù)學(xué)歸納法證明 

(2)本題也可以求出的通項公式,由兩邊同時除以,

,則

利用錯位相減法可求出:

,

,時,也符合上式,

對任意正整數(shù)都成立.

下同上述解法

 


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