1.  試找出所有定義在正實數(shù)并取值正實數(shù)的函數(shù) f，使其滿足 f(x(f(y)) = yf(x)對所有x, y成立，并且當(dāng) x 趨向于無窮大時 f(x) 趨向于0.

2.  圓C₁、C₂ 的圓心分別是O₁ 、O_2，它們相交于兩個不同的點，設(shè)A是其中一個交點。這兩個圓的一條公切線切C₁、 C₂ 分別于點 P_1、P₂，另外一條公切線分別切C₁、 C₂ 于點 Q_1、Q₂，再設(shè)M₁、M₂分別是P₁Q₁和P₂Q₂的中點，求證：角O₁AO₂ = 角 M₁AM₂。

3.  a , b, c是正整數(shù)，并且它們中的任何兩個都沒有大于1的公約數(shù)。求證 2abc - ab - bc - ca 是不能表示成形式xbc + yca + zab的最大整數(shù)，其中x, y, z是非負(fù)整數(shù)。

4.  等邊三角形ABC，設(shè)集合E是該三角形的所有邊界點（即邊AB,BC,CA），任意將E分拆成兩個不相交的子集合（它們的并集是E），試證明這兩個集合中的至少一個包含有三點構(gòu)成一直角三角形。

5.  問是否可能存在小于或等于10⁵的1983個不同的正整數(shù)，任何三個都不構(gòu)成一等茶數(shù)列。

6. 設(shè)a,b,c是一個三角形的三邊長，求證

a²b(a - b) + b²c(b - c) + c²a(c - a) >= 0.

并判斷何時等號成立。