1.  在正方形ABCD中作等邊三角形ABK、BCL、CDM、DAN，證明線段KL、LM、MN、NK的四個(gè)中點(diǎn)以及線段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八個(gè)中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正十二邊形的定點(diǎn)。

2. 在一個(gè)有限項(xiàng)的實(shí)數(shù)序列中，任意的相連七項(xiàng)之和為負(fù)，任意的相連十一項(xiàng)之和為正。求出這種序列最多有幾項(xiàng)。

3.  n>2是一給定整數(shù)，V_n 是所有1+kn形式的整數(shù)構(gòu)成的集合，其中k是正整數(shù)，對于V_n 中的一個(gè)數(shù)m，如果不存在V_n 中的兩個(gè)數(shù)p、q使得m=pq，則稱m是不可分解的。求證：V_n 中存在一數(shù)r，它可有多于一種的方式表示為V_n 中不可分解數(shù)的乘積。（乘積中若僅僅是因數(shù)的順序不同則視為是同一種分解。）

4. 定義f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x，其中a,b,A,B都是實(shí)數(shù)常量。如果f(x)>=0對所有實(shí)數(shù)x都成立，求證

a² + b² <= 2 且 A² + B² <= 1.

5.  a,b是正整數(shù)，設(shè)a² + b²除以a + b得到商為q，余數(shù)是r。試求出所有的正整數(shù)對（a,b）使得q² + r = 1977。

6.  f是定義在所有正整數(shù)上且取值也是正整數(shù)的函數(shù)，求證如果f(n+1) > f(f(n))對所有正整數(shù)n都成立，則f(n) = n對每個(gè)n都成立。