1.（2003京春文11，理8）如圖9―1，在正三角形ABC中，D，E，F分別為各邊的中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點.將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為（    ）

A.90°                             B.60°

C.45°                                     D.0°

2.（2003上海春，13）關于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（    ）

A.若a∥M，b∥M，則a∥b

B.若a∥M，b⊥a，則b⊥M

C.若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M

D.若a⊥M，a∥N，則M⊥N

3.（2002北京春，2）已知三條直線m、n、l，三個平面α、β、γ.下面四個命題中，正確的是（    ）

A.α∥β                            B.l⊥β

C.m∥n                                D.m∥n

4.（2002北京文，4）在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是（    ）

5.（2002上海，14）已知直線l、m，平面α、β，且l⊥α，m?β，給出下列四個命題：

（1）若α∥β，則l⊥m  （2）若l⊥m，則α∥β      （3）若α⊥β，則l∥m 

（4）若l∥m，則α⊥β

其中正確命題的個數(shù)是（    ）

A.1               B.2               C.3               D.4

6.（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如圖9―2），若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（    ）

A.π                 B.π                     C.π                 D.π

7.（2002京、皖、春，12）用一張鋼板制作一個容積為4 m³的無蓋長方體水箱.可用的長方形鋼板有四種不同的規(guī)格（長×寬的尺寸如選項所示，單位均為m）若既要夠用，又要所剩最少，則應選擇鋼板的規(guī)格是（    ）

A.2×5                 B.2×5.5                C.2×6.1               D.3×5

8.（2002全國文8，理7）一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么，這個圓錐軸截面頂角的余弦值是（    ）

A.                     B.                        C.                      D.－

9.（2002北京文5，理4）64個直徑都為的球，記它們的體積之和為V_甲，表面積之和為S_甲；一個直徑為a的球，記其體積為V_乙，表面積為S_乙，則（    ）

A.V_甲＞V_乙且S_甲＞S_乙                            B.V_甲＜V_乙且S_甲＜S_乙

C.V_甲=V_乙且S_甲＞S_乙                              D.V_甲=V_乙且S_甲=S_乙

10.（2002北京理，10）設命題甲：“直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁與對角面BB₁D₁D垂直”；命題乙：“直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁是正方體”.那么，甲是乙的（    ）

A.充分必要條件  

B.充分非必要條件

C.必要非充分條件  

D.既非充分又非必要條件

11.（2002全國理，8）正六棱柱ABCDEF―A₁B₁C₁D₁E₁F₁的底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個棱柱的側(cè)面對角線E₁D與BC₁所成的角是（    ）

A.90°                      B.60°                       C.45°                       D.30°

12.（2001上海，15）已知a、b為兩條不同的直線,α、β為兩個不同的平面，且a⊥α,

b⊥β，則下列命題中的假命題是（    ）

A.若a∥b，則α∥β

B.若α⊥β，則a⊥b

C.若a、b相交，則α、β相交

D.若α、β相交，則a、b相交

 13.（2001京皖春，11）圖9―3是正方體的平面展開圖．在這個正方體中，

①BM與ED平行 

②CN與BE是異面直線 

③CN與BM成60°角 

④DM與BN垂直

以上四個命題中，正確命題的序號是（    ）

A.①②③                                                        B.②④

C.③④                                                     D.②③④

14.（2001全國文，3）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積是（    ）

A.3π                B.3π                  C.6π                        D.9π

15.（2001全國，11）一間民房的屋頂有如圖9―4三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為P₁、P₂、P₃.

圖9―4

若屋頂斜面與水平面所成的角都是α，則（    ）

A.P₃＞P₂＞P₁                                                                                                                B.P₃＞P₂＝P₁

C.P₃＝P₂＞P₁                                                                                                                 D.P₃＝P₂＝P₁

16.（2001全國，9）在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，若AB＝BB₁，則AB₁與C₁B所成的角的大小為（    ）

A.60°                      B.90°                      C.105°                    D.75°

17.（2001京皖春，9）如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是（    ）

A.30°                      B.45°                      C.60°                      D.90°

18.（2000上海，14）設有不同的直線a、b和不同的平面α、β、γ，給出下列三個命題：

（1）若a∥α，b∥α，則a∥b．  （2）若a∥α，a∥β，則α∥β． 

（3）若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．

其中正確的個數(shù)是（    ）

A.0                           B．1                         C．2                         D．3

19.（2000京皖春，5）一個圓錐的底面直徑和高都同一個球的直徑相等，那么圓錐與球的體積之比是（    ）

A.1∶3                  B.2∶3                  C.1∶2                  D.2∶9

20.（2000全國，3）一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（    ）

A.2               B.3               C.6                    D.

21.（2000全國文，12）如圖9―5，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（    ）

A.                                             B.

C.                                              D.

22.（2000全國理，9）一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（    ）

A.                                        B.

C.                                        D.

23.（1999全國，7）若干毫升水倒入底面半徑為2 cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6 cm.若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是（    ）

A.6cm                                     B．6 cm   

C.2cm                                    D.3cm

24.（1999全國，12）如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，它們的側(cè)面積的比為1∶2，那么R等于（    ）

A.10                         B.15                         C.20                         D.25

25.（1999全國理，10）如圖9―6，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積是（    ）

A.                                                B.5

C.6                                                 D.

26.（1998全國，7）已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為（    ）

A.120°             B.150°             C.180°             D.240°

27.（1998全國，9）如果棱臺的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S₀，那么（    ）

A.                    B.

C.2S₀＝S＋S′                                D.S₀²＝2S′S

28.（1998全國，13）球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這3個點的小圓的周長為4π，那么這個球的半徑為（    ）

A.4              B.2               C.2                    D.

29.（1998上海）在下列命題中，假命題是（    ）

A.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線，則α⊥β

B.若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，則α∥β

C.若平面α⊥平面β，任取直線lα，則必有l⊥β

D.若平面α∥平面β，任取直線lα，則必有l∥β

30.（1997全國，8）長方體一個頂點上三條棱的長分別是3、4、5，且它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是（    ）

A.20π               B.25π               C.50π                         D.200π

31.（1997全國，12）圓臺上、下底面積分別為π、4π，側(cè)面積為6π，這個

圓臺的體積是（    ）

A.                 B.2π                  C.              D.

32.（1996全國理，14）母線長為1的圓錐體積最大時，其側(cè)面展開圖圓心角等于（    ）

A.π             B.π              C.π         D.π

33.（1996全國文12，理9）將邊長為a的正方體ABCD沿對角線AC折起，使得BD＝a，則三棱錐D―ABC的體積為（    ）

A.                       B.                       C.           D.

34.（1996全國文7，理5）如果直線l、m與平面α、β、γ滿足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有（    ）

A.α⊥γ且l⊥m                                          B.α⊥γ且m∥β  

C.m∥β且l⊥m                                           D.α∥β且α⊥γ

35.（1996上海，4）在下列命題中，真命題是（    ）

A.若直線m、n都平行于平面α，則m∥n

B.設α―l―β是直二面角，若直線m⊥l，則m⊥β

C.若直線m、n在平面α內(nèi)的射影依次是一個點和一條直線，且m⊥n，則n在α內(nèi)或n與α平行

D.設m、n是異面直線，若m與平面α平行，則n與α相交

36.（1996全國文，10）圓錐母線長為1，側(cè)面展開圖的圓心角為240°，該圓錐的體積等于（    ）

A.π                                     B.π  

C.π                                      D.π

37.（1995全國文，10）如圖9―7，ABCD―A₁B₁C₁D₁是正方體，B₁E₁＝D₁F₁＝，則BE₁與DF₁所成角的余弦值是（    ）

A.                                       B.

C.                                       D.

38.（1995全國，4）正方體的全面積是a²，它的頂點都在球面上，這個球的表面積是（    ）

A.                     B.                     C.2πa²                     D.3πa²

39.（1995上海，4）設棱錐的底面面積為8 cm²，那么這個棱錐的中截面（過棱錐高的中點且平行于底面的截面）的面積是（    ）

A.4　cm²                  B.2 cm²             C.2 cm²                     D.  cm²

40.（1995全國理，10）已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下面四個命題：

①α∥βl⊥m；  ②α⊥βl∥m；  ③l∥mα⊥β；④l⊥mα∥β

其中正確的兩個命題是（    ）

A.①②                      B.③④                       C.②④                       D.①③

41.（1995全國理，15）如圖9―8，A₁B₁C₁―ABC是直三棱柱，

∠BCA=90°，點D₁、F₁分別是A₁B₁、A₁C₁的中點，若BC=CA=CC₁，則BD₁與AF₁所成角的余弦值是（    ）

A.                                                        B.

C.                                                         D.

42.（1994全國，11）對于直線m、n和平面α、β，α⊥β的一個充分條件是（    ）

A.m⊥n，m∥α，n∥β                                  B.m⊥n，α∩β＝m，nα

C.m∥n，n⊥β，mα                          D.m∥n，m⊥α，n⊥β

43.（1994上海，14）已知a、b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b（    ）

A.一定是異面直線                                          B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線                                D.不可能是相交直線

44.（1994全國，7）已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，則其體積為（    ）

A.32                   B.28                    C.24                   D.20

45.（1994全國，13）已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球面面積是（    ）

A.                     B.                    C.4π                     D.π

46.（2003京春理13，文14）如圖9―9，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則=      .

圖9―9

47.（2003上海春，10）若正三棱錐底面邊長為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小等于      （結果用反三角函數(shù)值表示）.

48.（2002上海春，12）如圖9―10，若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點

M₁、M₂與點N₁、N₂，則三角形面積之比.若從點O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上，分別有點P₁、P₂，點Q₁、Q₂和點R₁、R₂，則類似的結論為           .

圖9―10                                       圖9―11

49.（2002京皖春，15）正方形ABCD的邊長是2，E、F分別是AB和CD的中點，將正方形沿EF折成直二面角（如圖9―11所示）.M為矩形AEFD內(nèi)一點，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點M到直線EF的距離為      .

50.（2002北京，15）關于直角AOB在定平面α內(nèi)的射影有如下判斷：①可能是0°的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角；⑤可能是180°的角.其中正確判斷的序號是         （注：把你認為是正確判斷的序號都填上）.

51.（2002上海春，10）圖9―12表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有      對.

圖9―12

52.（2002上海，4）若正四棱錐的底面邊長為2 cm，體積為4 cm³，則它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是      .

53.（2001京皖春，16）已知m、n是直線，α、β、γ是平面，給出下列命題：

①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α或n⊥β；

②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n；

③若m不垂直于α，則m不可能垂直于α內(nèi)的無數(shù)條直線；

④若α∩β＝m，n∥m且nα，nβ，則n∥α且n∥β.

其中正確的命題序號是         （注：把你認為正確的命題的序號都填上）.

54.（2001春季北京、安徽，13）已知球內(nèi)接正方體的表面積為S，那么球體積等于      ．

55.（2001全國理，13）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的側(cè)面積是       .

56.（2000上海春，9）若兩個長方體的長、寬、高分別為5 cm、4 cm、3 cm，把它們兩個全等的面重合在一起組成大長方體，則大長方體的對角線最長為_____cm.

57.（2000上海春，8）如圖9―13，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD與正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中點，則AE與平面BCD所成角的大小為_____.

58.（2000年春季北京、安微，18）在空間，下列命題正確的是_____（注：把你認為正確的命題的序號都填上）.

①如果兩直線a、b分別與直線l平行，那么a∥b.

②如果直線a與平面β內(nèi)的一條直線b平行，那么a∥β.

③如果直線a與平面β內(nèi)的兩條直線b、c都垂直，那么a⊥β.

④如果平面β內(nèi)的一條直線a垂直平面γ，那么β⊥γ.

59.（2000春季北京、安徽，16）如圖9―14是一體積為72的正四面體，連結兩個面的重心E、F，則線段EF的長是_____.

60.（2000全國，16）如圖9―15（1），E、F分別為正方體的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，則四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可能是圖9―15（2）的      （要求：把可能的圖的序號都填上）.

圖9―14                      圖9―15（1）

圖9―15（2）

61.（2000上海，7）命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐．

命題A的等價命題B可以是：底面為正三角形，且        的三棱錐是正三棱錐．

62.（1999全國，18）α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個論斷：

①m⊥n  ②α⊥β  ③n⊥β  ④m⊥α

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：    .

63.（1998全國，18）如圖9―16，在直四棱柱A₁B₁C₁D₁―ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅?i>ABCD滿足條件       （或任何能推導出這個條件的其他條件，例如ABCD是正方形、菱形等）時，有A₁C⊥B₁D₁（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）.

64.（1998上海）棱長為2的正四面體的體積為      .

65.（1997全國，19）已知m、l是直線，α、β是平面，給出下列命題

①若l垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥α

②若l平行于α，則l平行于α內(nèi)的所有直線

③若mα，lβ，且l⊥m，則α⊥β

④若lβ，且l⊥α，則α⊥β

⑤若mα，lβ，且α∥β，則m∥l

其中正確的命題的序號是_____（注：把你認為正確的命題的序號都填上）.

66.（1997上海）圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑為5 cm，兩個直徑為5 cm的玻璃小球都浸沒于容器的水中，若取出這兩個小球，則容器的水面將下降_____ cm.

67.（1996上海，18）把半徑為3 cm、中心角為π的扇形卷成一個圓錐形容器，這個容器的容積為     cm³（結果保留π）.

68.（1996上海，18）如圖9―17，在正三角形ABC中，E、F依次是AB、AC的中點，AD⊥BC，EH⊥BC，FＧ⊥BC，D、H、G為垂足，若將正三角形ABC繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐的體積為V，則其中由陰影部分所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積與V的比值是          .

圖9―17              圖9―18

69.（1996全國，19）如圖9―18，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_____.

70.（1995全國，17）已知圓臺上、下底面圓周都在球面上，且下底面過球心，母線與底面所成的角為，則圓臺的體積與球體積之比為_____.

71.（1995上海理）把圓心角為216°，半徑為5分米的扇形鐵皮焊成一個圓錐形容器（不計焊縫），那么容器的容積是_____.

72.（1994全國，19）設圓錐底面圓周上兩點A、B間的距離為2，圓錐頂點到直線AB的距離為，AB和圓錐的軸的距離為1，則該圓錐的體積為_____.

73.（1994上海）有一個實心圓錐體的零部件，它的軸截面是邊長為10 cm的等邊三角形，現(xiàn)在要在其整個表面上鍍一層防腐材料，已知每平方厘米的工料價為0.10元，則需要的費用為_____元（π取3.2）.

74.（2003京春文，19）如圖9―19，ABCD―A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點.

（Ⅰ）求三棱錐D₁―DBC的體積；

（Ⅱ）證明BD₁∥平面C₁DE；

（Ⅲ）求面C₁DE與面CDE所成二面角的正切值.

圖9―19                        圖9―20

75.（2003京春理，19）如圖9―20，正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4.E，F分別為棱AB，BC的中點，EF∩BD=G.

（Ⅰ）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

（Ⅱ）求點D₁到平面B₁EF的距離d；

（Ⅲ）求三棱錐B₁―EFD₁的體積V.

76.（2002京皖春文，19）在三棱錐S―ABC中，∠SAB=∠SAC=

∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.（如圖9―21）

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大��；

（Ⅲ）求三棱錐的體積V_S－ABC.

77.（2002京皖春理，19）在三棱錐S―ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求異面直線SC與AB所成的角的大小（用反三角函數(shù)表示）.

圖9―22                 圖9―23

78.（2002全國文，19）四棱錐P―ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD，如圖9―22所示.

（Ⅰ）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；

（Ⅱ）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°.

79.（2002北京文，18）如圖9―23，在多面體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的長、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h.

（Ⅰ）求側(cè)面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角的正切值；

（Ⅱ）在估測該多面體的體積時，經(jīng)常運用近似公式V_估=S_中截面?h來計算.已知它的體積公式是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），試判斷V_估與V的大小關系，并加以證明.

（注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）

80.（2002北京理，18）如圖9―24，在多面體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長后相交于E，F兩點，上、下底面矩形的長、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h.

（Ⅰ）求側(cè)面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角的大�。�

（Ⅱ）證明：EF∥面ABCD；

（Ⅲ）在估測該多面體的體積時，經(jīng)常運用近似公式V_估=S_中截面?h來計算.已知它的體積公式是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），

試判斷V_估與V的大小關系，并加以證明.

（注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）

81.（2002全國文，22）（Ⅰ）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖（1），圖（2）），要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖（1）、圖（2），并作簡要說明；

（Ⅱ）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大��；

圖9―25

82.（2002全國理，18）如圖9―26，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜）.

（Ⅰ）求MN的長；

（Ⅱ）當a為何值時，MN的長最�。�

（Ⅲ）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小.

圖9―26                      圖9―27

83.（2001春季北京、安徽，19）如圖9―27，已知VC是△ABC所在平面的一條斜線，點N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB＝a，VC與AB之間的距離為h，點M∈VC.

（Ⅰ）證明∠MDC是二面角M―AB―C的平面角；

（Ⅱ）當∠MDC＝∠CVN時，證明VC⊥平面AMB；

（Ⅲ）若∠MDC＝∠CVN＝θ（0＜θ＜），求四面體MABC的體積.

84.（2001上海，19）在棱長為a的正方體OABC―O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE＝BF．

（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；

（Ⅱ）當三棱錐B′―BEF的體積取得最大值時，求二面角B′―EF―B的大小（結果用反三角函數(shù)表示）．

85.（2001全國理17，文18）如圖9―28，在底面是直角梯形的四棱錐S―ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.

（Ⅰ）求四棱錐S―ABCD的體積；

（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

86.（2000京皖春理20,文21）在直角梯形ABCD中，如圖9―29，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝AB＝a（如圖（1）），將△ADC沿AC折起，使D到D′，記面ACD′為α，面ABC為β，面BCD′為γ．

圖9―29

（Ⅰ）若二面角α―AC―β為直二面角（如圖（2）），求二面角β―BC―γ的大��；

（Ⅱ）若二面角α―AB―β為60°（如圖（3）），求三棱錐D′―ABC的體積．

87.（2000全國理，18）如圖9―30，已知平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝60°．

（Ⅰ）證明：C₁C⊥BD；

（Ⅱ）假定CD＝2，CC₁＝，記面C₁BD為α，面CBD為β，求二面角α―BD―β的平面角的余弦值；

（Ⅲ）當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？請給出證明．

圖9―30                             圖9―31

88.（2000全國文，19）如圖9―31，已知平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD．

（Ⅰ）證明：C₁C⊥BD；

（Ⅱ）當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD?請給出證明．

89.（2000上海，18）如圖9―32所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中點，異面直線AD與BE所成的角大小為arccos，求四面體ABCD的體積．

圖9―32                      圖9―33

90.（1999全國文22，理21）如圖9―33，已知正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁，點E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB＝a.

（Ⅰ）求截面EAC的面積；

（Ⅱ）求異面直線A₁B₁與AC之間的距離；

（Ⅲ）求三棱錐B₁－EAC的體積.

91.（1998全國理，23）已知如圖9―34，斜三棱柱ABC―A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

（Ⅰ）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大��；

（Ⅱ）求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求頂點C到側(cè)面A₁ABB₁的距離.

圖9―34                                    圖9―35

92.（1998全國文，23）已知如圖9―35，斜三棱柱ABC―A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

（Ⅰ）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大�。�

（Ⅲ）求側(cè)棱B₁B和側(cè)面A₁ACC₁的距離.

93.（1997全國，23）如圖9―36，正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點.

（Ⅰ）證明：AD⊥D₁F；

（Ⅱ）求AE與D₁F所成的角；

（Ⅲ）證明：面AED⊥面A₁FD₁；

（Ⅳ）（理）設AA₁＝2，求三棱錐F―A₁ED₁的體積.

（文）設AA₁＝2，求三棱錐E―AA₁F的體積.

圖9―36                             圖9―37

94.（1997上海理）如圖9―37在三棱柱ABC―A′B′C′中，四邊形A′ABB′是菱形，四邊形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.

（1）求證：平面CA′B⊥平面A′AB；

（2）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60°，求AC′與平面BCC′所成的角的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）.

95.（1996上海，21）如圖9―38，在二面角α―l―β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點.

（1）求二面角α―l―β的大��；

（2）求證：MN⊥AB；

（3）求異面直線PA與MN所成角的大小.

圖9―38                             圖9―39

96.（1995全國文24，理23）如圖9―39，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面的圓周上，AF⊥DE，F是垂足.

（Ⅰ）求證：AF⊥DB；

（Ⅱ）（理）如果圓柱與三棱錐D―ABE的體積比等于3π，求直線DE與平面ABCD所成的角.

（文）求點E到截面ABCD的距離.

97.（1995上海，23）如圖9―40，四棱錐P―ABCD中，底面是一個矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60°.

（Ⅰ）求四棱錐P―ABCD的體積；

（Ⅱ）求二面角P―BC―D的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）.

圖9―40                             圖9―41

98.（1994全國，23）如圖9―41，已知A₁B₁C₁―ABC是正三棱柱，D是AC中點.

（Ⅰ）證明：AB₁∥平面DBC₁；

（Ⅱ）（理）假設AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱的DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數(shù).

（文）假設AB₁⊥BC₁，BC＝2，求線段AB₁在側(cè)面B₁BCC₁上的射影長.

99.（1994上海，23）如圖9―42在梯形ABCD中，AD∥BC，

∠ABC＝，AB＝a，AD＝3a，且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，PA=a.

求（1）二面角P―CD―A的大小（用反三角函數(shù)表示）.

（2）點A到平面PBC的距離.

●答案解析

1.答案：B

解析：將三角形折成三棱錐如圖9―43所示.HG與IJ為一對異面直線.過點D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD.所以∠ADF即為所求.因此，HG與IJ所成角為60°.

評述：本題通過對折疊問題處理考查空間直線與直線的位置關系，在畫圖過程中正確理解已知圖形的關系是關鍵.通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力.而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向.

2.答案：D

解析：A選項中，若a∥M，b∥M，則有a∥b或a與b相交或a與b異面.B選項中，b可能在M內(nèi)，b可能與M平行，b可能與M相交.C選項中須增加a與b相交，則l⊥M.

D選項證明如下：∵a∥N，過a作平面α與N交于c，則c∥a，∴c⊥M.故M⊥N.

評述：本題考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的基本性質(zhì).

3.答案：D

解析：垂直于同一平面的兩直線必平行，因此選D.

評述：判斷元素之間的位置關系問題，也可以從元素之間所有關系分析入手，再否定若干選項.如A，因為α、β有兩種位置關系，在α與β相交情況下，仍有α⊥r，β⊥r.因此，α∥β是錯誤的.

4.答案：A

解析：∵CD在平面BCD內(nèi)，AB是平面BCD的斜線，由三垂線定理可得A.

5.答案：B

解析：（1）、（4）是正確命題.因為α∥β，l⊥α，∴l⊥β.

又mβ，∴l⊥m.因為l∥m，l⊥α，∴m⊥α，∴β⊥α.

6.答案：D

解析：如圖9―44，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C―ADE與圓錐B―ADE體積之差

又∵求得AB=1

∴

7.答案：C

解析：設該長方體水箱的長、寬、高分別為x、y、z，∴x?y?z=4

∴原長方形中用于制作水箱的部分的長、寬應分別為x+2z，y+2z

（如圖9―45中（2）所示）

從而通過對各選項的考查，確定C答案.

圖9―45

8.答案：C

解析：如圖9―46，作出軸截面，設公共底面圓的半徑為R，圓錐的高為h

∴V_錐=πR²h，V_半球=?πR³

∵V_錐=V_半球，∴h=2R  ∴tanα=

∴cosθ=

9.答案：C

解析：V_甲=64?π?（?）³=πa³，

S_甲=64?4π?（?）²=4πa²

V_乙=π（a?）³=πa³，S_乙=4π（a?）²=πa²

∴V_甲=V_乙，S_甲＞S_乙.

10.答案：C

解析：若命題甲成立，命題乙不一定成立，如底面為菱形時.

若命題乙成立，命題甲一定成立.

11.答案：B

解析：連結FE₁、FD，則由正六棱柱相關性質(zhì)得FE₁∥BC₁.

在△EFD中，EF=ED=1，∠FED=120°，∴FD=.

在Rt△EFE₁和Rt△EE₁D中，易得E₁F=E₁D=.

∴△E₁FD是等邊三角形.∴∠FE₁D=60°.

∴BC₁與DE₁所成的角為60°.

評述：本題主要考查正六棱柱的性質(zhì)及異面直線所成的角的求法.

12.答案：D

解析：①∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又∵b⊥β，∴α∥β

②∵a⊥α，α⊥β  ∴a∥β或a∈β

又∵b⊥β  ∴b⊥a

③若α∥β，則a∥b

④若α、β相交，則a、b可能相交也可能異面，顯然D不對.

13.答案：C

解析:展開圖可以折成如圖9―47的正方體,由圖可知①②不正確.

∴③④正確.

14.答案：A

解析：∵S＝absinθ

∴a²sin60°＝   ∴a²＝4，a＝2，a=2r  ∴r＝1

S_全＝2πr＋πr²＝2π＋π＝3π

15.答案：D

解析：由S_底＝S_側(cè)cosθ可得P₁＝P₂

而P₃＝

又∵2（S₁＋S₂）＝S_底  ∴P₁＝P ₂＝P ₃

 16.答案：B

解析：如圖9―48，D₁、D分別為B₁C₁、BC中點，連結AD、D₁C，設BB₁＝1，則AB＝，則AD為AB₁在平面BC₁上的射影，又

∴DE²＝BE²＋BD²－2BE?BD?cosC₁BC

＝

而BE²＋DE²＝＝BD²

∴∠BED＝90°  ∴AB₁與C₁B垂直

17.答案：C

解析：設圓錐底面半徑為r，母線長為l，依條件則有2πr＝πl，如圖9―49

∴，即∠ASO＝30°，因此圓錐頂角為60°.

18.答案：A

解析：（1）如果a，b是平面M中的兩條相交直線，面M∥α，

∴有a∥α，b∥α，但ab，所以（1）錯．

（2）如果α∩β＝b，而a∥b，∴有a∥α，a∥β，但αβ，所以（2）錯．

（3）如果α∩β＝b，而b⊥γ，∴有β⊥γ，α⊥γ，但αβ，（3）錯．

19.答案：C

解析：設圓錐的底面半徑為R，則V_圓錐＝πR³，V_球＝πR³，

∴V_圓錐∶V_球＝1∶2．

20.答案：D

解析：設長方體共一頂點的三邊長分別為a=1，b＝，c＝，則對角線l的長為l=．

21.答案：D

解析：如圖9―50，由題意知，πr²h＝πR²h，

∴r＝．  又△ABO∽△CAO，

∴，∴OA²＝r?R＝，

∴cosθ＝．

22.答案：A

解析：設圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設知h=2πr.

∴S_全=2πr²+（2πr）²=2πr²（1+2π）.S_側(cè)=h²=4π²r²，∴.

評述：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識.

23.答案：B

解析：設水面半徑為x cm，

則水面高度為x cm

則由已知得：π?2²?6＝πx²?x

（x）³＝6³，x＝6.

評述：本題重點考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運算能力.

24.答案：D

解析：由已知得中截面圓的半徑r′＝.

設圓臺的母線長為l，則中截面截圓臺所得上面小圓臺的母線長l′＝，且上面小圓臺的側(cè)面積S′與圓臺側(cè)面積S之比為1∶3，由圓臺側(cè)面積公式得：

，解得R=25

評述：本題主要考查圓臺及其側(cè)面積公式，立足課本，屬送分題.

25.答案：D

解析：連EB、EC.四棱錐E―ABCD的體積V_E―ABCD=?3²?2=6.由于AB=2EF，EF∥AB，所以S_△EAB=2S_△BEF

∴V_F―EBC=V_C―EFB=V_C―ABE=V_E―ABC=?V_E―ABCD=

∴多面體EF―ABCD的體積V_EF―ABCD=V_E―ABCD+V_F―EBC=6+.

此題也可利用V_EF―ABCD＞V_E―ABCD=6.故選D.

評述：本題考查多面體體積的計算以及空間想象能力和運算能力.

26.答案：C

解析：設圓錐底面半徑為r，母線長為l，由已知得：πr²＋πrl＝3πr²，

∴θ＝×2π＝π.

評述：本小題考查圓錐的概念、性質(zhì)及側(cè)面積公式.

側(cè)面展開是立體問題平面化的重要手段應引起廣大考生的注意.

27.答案：A

解析：設該棱臺為正棱臺來解即可.

評述：本題考查棱臺的中截面問題.根據(jù)選擇題的特點本題選用“特例法”來解，此種解法在解選擇題時很普遍，如選用特殊值、特殊點、特殊曲線、特殊圖形等等.

28.答案：B

解析：設球心為O，由題設知三棱錐O―ABC是正四面體，且△ABC的外接圓半徑是2，設球半徑為R，則R＝2，∴R＝2.

29.答案：C

解析：A中直線l⊥β，lα，所以α⊥β，A為真命題.B中，在α內(nèi)取兩相交直線，則此二直線平行于β，則α∥β，B為真命題.D為兩平面平行的性質(zhì)，為真命題.C為假命題，l只有在垂直交線時才有l⊥β，否則l不垂直β.故選C.

評述：本題考查平面與平面垂直、直線與平面平行的判定和性質(zhì).

30.答案：C

解析：長方體的對角線長等于球的直徑，于是（2R）²＝3²＋4²＋5²，R²＝，

則S_球＝4πR²＝4π?＝50π.

評述：本題考查長方體、球的有關概念和性質(zhì).

31.答案：D

解析：由已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1、2.由π（1＋2）l＝6π，得母線l=2，高h＝，其體積V＝?（π＋4π＋2π）＝.

32.答案：D

解析：設圓錐底面半徑為r，高為h，

則2πr＝，h＝，V＝πr²h＝πr²，

于是

，

當r²＝2－2r²，即r＝時，圓錐體積最大，此時＝2πr＝2π.

33.答案：D

解析：設AC與BD交點為E，先可判斷出△BDE是直角三角形，于是V_D－ABC＝.

34.答案：A

解析：由已知有α⊥γ，  又m⊥l，所以選A.

評述：本題考查兩個定理，即面面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理.要求對這些定理有較深理解，需學生有比較好的構圖能力及空間想象力.才能很快地從4個選項中選出答案來，此題屬于考查基礎知識、基本定理的題.

35.答案：C

解析：A顯然錯誤，此時m與n可能平行，也可能相交或異面；

B也是錯誤的，當m⊥l，且mα時，才有m⊥β；

D也錯誤，因m與n異面，m與α平行，n與α可能相交，也可能平行，也可能在平面α內(nèi)；故應選C.

36.答案：C

解析：設圓錐的底面半徑為r,圓錐母線長為1.又側(cè)面展開圖圓心角為240°,240°=π,得π×1=2πr，r=.得圓錐的高h=

所以，V_圓錐=πr²h=π.

37.答案：A

解析：這是兩條異面直線所成角的問題，如圖9―51將DF₁平移至AG₁，A₁G₁＝，再將AG₁平移至EE₁，其中AE＝，B₁E₁＝，∠BE₁E即是異面直線BE₁與DF₁所成的角.

設正方體棱長為l，可求得EE₁＝BE₁＝，

EB＝，在△BEE₁中由余弦定理得

cosBE₁E＝

故應選A.

評述：利用直線平移，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決.“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學思想，這種思想在近幾年的試題里明顯地、有意識地進行了考查.

38.答案：B

解析：由已知正方體的對角線是球的直徑，設正方體棱長為x，球半徑為R，則

，于是球的表面積S＝4πR²＝4π?.

39.答案：C

解析：中截面的面積應是底面面積的，即2 cm².

40.答案：D

解析：①是正確的，l⊥α，α∥β，則l⊥β，又mβ，所以l⊥m；③也是正確的，l⊥α，m∥l，則m⊥α，又mβ，所以α⊥β；②中，l與m可能相交或異面；④中，

α與β可能相交，只有①和③正確.故選D.

41.答案：A

解析：BD₁與AF₁是兩條異面直線.連結D₁F₁，又在BC上取中點E，連結EF₁，則

BE∥D₁F₁，且BE=D₁F₁，所以F₁E∥D₁B.因此，F₁A與F₁E所成的角就是BD₁與AF₁所成的角.

設BC=CA=CC₁=1，于是在△AF₁E中，可求得F₁A=，F₁E=D₁B=，EA=，由余弦定理可得：cosEF₁A=.故選A.

42.答案：C

解析：因為m∥n，n⊥β，因此m⊥β，又由mα，所以α⊥β.故應選C.

評述：通過畫圖判斷A、B、D不成立.選C.本題需要綜合靈活運用基礎知識，是對能力有較高要求的題目.解答本題需要用到課本的知識.解題時首先應將符號語言翻譯成文字語言，弄懂題意，搞清選擇肢的內(nèi)容，然后畫出相應的圖形，也就是將文字語言翻譯成圖形語言幫助思考.

43.答案：C

解析：由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c則a∥b與已知a、b為異面直線相矛盾，故應選C.

44.答案：B

解析：正六棱臺上下底面面積分別為：

S_上＝6??2²＝6， 

S_下＝6??4²＝24，

V_臺＝.

45.答案：D

解析：如圖9―52，設過A、B、C三點的截面和球的半徑分別為r、

R.截面圓心、球心分別為O′、O.

由已知AB＝BC＝CA＝2，r＝，OO′＝R，由R²＝r²＋OO′²，得R²＝，解得R²＝，

S_球＝4πr²＝π.

評述：本題重點考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式.

46.答案：

解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR²?r.恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有πr³=πR²r.故.

評述：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎知識以及計算能力和分析、解決問題的能力.

47.答案：arctan

解析：設棱錐的高為h，如圖9―53，則V=?4×4×sin60°?h=1，

∴h=.

D為BC中點，OD=AD=??4=.

易證∠PDO為側(cè)面與底面所成二面角的平面角

tanθ=.故θ=arctan

評述：本題考查三棱錐中的基本數(shù)量關系，考查二面角的概念及計算.

48.答案：

解析：

評述：用類比思想思考問題在試題中多次出現(xiàn).

49.答案：

解析：過M作MO⊥EF，交EF于O，則MO⊥平面BCFE.

如圖9―54，作ON⊥BC，設OM=x，又tanMBO=，

∴BO=2x

又S_△MBE=BE?MB?sinMBE=BE?ME

S_△MBC=BC?MB?sinMBC=BC?MN

∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=.

50.答案：①②③④⑤

解析：①直角AOB在平面α的射影為直線l，如圖9―55所示.因此，判斷①是正確的.

圖9―55                圖9―56              圖9―57 

②直角AOB在平面α的射影為∠ASB，∠ASB為銳角，如圖9―56.因此，判斷②是正確的.

③直角AOB在平面α的射影為A′O′B′而A′O′B′為直角，如圖9―57，因此判斷③是正確的.

判斷④、⑤如圖9―58分析.

圖9―58

評述：這是考核空間想象能力的一個較好問題.

51.答案：3

解析：如圖9―59所示，相互異面的線段有AB與CD，EF與GH，AB與GH3對.

圖9―59               圖9―60

52.答案：30°

解析：如圖9―60，作BC邊中點M，∴VM⊥BC

過V作VO⊥底面ABCD

∴VO⊥MO，MO⊥BC，∴∠VMO為其側(cè)面與底面所成二面角的平面角

∵V_錐=S_ABCD?VO

∴4=?（2）²?VO ，∴VO=1

又∵OM=，VO⊥MO，∴∠VMO=30°

∴側(cè)面與底面所成的二面角為30°.

53.答案：②④

解析：①n與α相交或n與β相交，不正確

③m⊥b，b∈α，但m不垂直于α.∴在α內(nèi)有無數(shù)條與b垂直的直線

∴m可以垂直α內(nèi)無數(shù)條直線.∴③不正確

54.答案：

解析：設球的半徑為R，正方體的邊長為a.

（2R）²＝3a²

又∵6a²＝S  ∴3a²＝

∴4R²＝  R＝  又∵球的體積為V＝πR ³

∴V＝

55.答案：2π

解析：設母線為a，半徑為r.

∵a²sin60°＝   ∴a＝2，2r＝a，r＝1

∴S_側(cè)＝2πr?a?＝2π.

56.答案：5

解析：可組成三個大長方體，其中對角線最長的為（cm）．

57.答案：45°

解析：過點A作AF⊥BD于F，則AF⊥面BCD，∠AEF為所求的角．設BD＝a，則AF＝，EF＝，∴在Rt△AEF中，∠AEF＝45°．

58.答案：①④

解析：②有可能aβ，所以②不正確，③若b∥c，則a不一定垂直β.∴③不正確，只有①、④正確.

59.答案：2

解析：設正四面體的邊長為a，則EF＝，

V_正四面體＝a³＝72．∴a＝6，∴EF＝2．

60.答案：②③

解析：∵面BFD₁E⊥面ADD₁A₁，所以四邊形BFD₁E在面ADD₁A₁上的射影是③，同理，在面BCC₁B₁上的射影也是③．

過E、F分別作DD₁和CC₁的垂線，可得四邊形BFD₁E在面DCC₁D₁上的射影是②，同理在面ABB₁A₁，面ABCD和面A₁B₁C₁D₁上的射影也是②．

61.答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等……）

解析：要使命題B與命題A等價，則只需保證頂點在底面上的射影S是底面正三角形的外心即可，因此，據(jù)射影定理，得側(cè)棱長相等．

62.答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β

評述：本題主要考查線線、線面、面面之間關系的判定與性質(zhì).但題型較新穎，主要表現(xiàn)在：題目中以立體幾何知識為背景，給出了若干材料，要求學生能將其組裝成具有一定邏輯關系的整體.考查知識立足課本，對空間想象能力、分析問題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強能力考查的方向.

63.答案：AC⊥BD

64.答案：

解析：如圖9―61，底面三角形BCD的面積S=，設O是

△BCD的中心，則OB=×2=，棱錐A―BCD的高h=AO=.

所以正四面體的體積V=.

65.答案：①④

解析：由直線與平面垂直的判定定理知①正確；由平面與平面垂直的判定定理知④正確.

評述：本題是需要綜合靈活運用基礎知識，對學生能力有較高的要求.數(shù)學語言包括符號語言、文字語言和圖形語言.需要進行這三種語言的互譯，弄懂題意，搞清選擇肢的內(nèi)容，然后畫出圖形，用圖形幫助思考選擇.

66.答案：

解析:設取出小球后,容器水面將下降h cm.兩小球體積為V_球=2×π×（）³=π，此體積即等于它們在容器中排開的水的體積V₁，

V₁=π×5²×h，V₁=V_球，即25πh=π.∴h= cm.

67.答案：

解析：扇形弧長L＝3?＝2π cm，設卷成圓錐的底面半徑為r，則2πr＝2π，

r＝1 cm，高h＝ cm，于是V＝π?1²?2π cm³.

68.答案：

解法一：設正三角形邊長為2，其高AD＝，旋轉(zhuǎn)半徑BD＝1，

V＝π?1?＝.

又EF＝1，HD＝，HE＝，則HGEF旋轉(zhuǎn)所得圓柱的體積V₁＝π?

（）²?.

由陰影部分產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積.

故由陰影部分所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積與V的比是.

解法二：設圓錐的高為h，底面半徑為r，則圓柱的高為，底面圓半徑為，則

評述：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的有關知識，以及空間想象能力和計算能力.

69.答案：

解析：設正方形邊長為1，可得FD＝1，FC＝，BF＝，又BC＝1，在△CBF中，由余弦定理得cosCBF＝.

評述：本小題用了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想，即兩異面直線所成角轉(zhuǎn)化成兩相交直線所夾的角，在原圖的基礎上再構造空間圖形.這需要學生有較強的空間想象能力和綜合運用知識的能力.

70.答案：7∶32

解析：如圖9―62，是圓臺和半球的截面圖，設球的半徑為R，由題中已知條件可得OB＝OC＝BC＝R，CE＝，CD＝R，于是圓臺的體積為

V_圓臺＝，又球的體積V_球＝πR³，所以.

71.答案：37.70

解析：設焊成的圓錐形容器的半徑為r，高為h，依題意，得216°=×360°，

∴r=3，h==4.

∴V_圓錐=πr²h=×3.14×3²×4≈37.70

評述：本題考查圓錐的概念及側(cè)面展開圖的扇形圓心角的計算.

72.答案：π

解析：如圖9―63，取AB的中點M，連SM、OM，則SM⊥AB，OM⊥AB，又OM⊥OS，所以OM是AB與圓錐的軸的距離，OM＝1，SM＝，SO＝，AO＝.

體積V＝.

評述：重點考查圓錐、圓錐的體積、異面直線的距離及三垂線定理的應用.

73.答案：24

解析：因為圓錐體的軸截面是邊長為10 cm的等邊三角形，所以母線l=10 cm，底面半徑r=5 cm，S_圓錐全=πrl+πr²=3.2×（50+25）=240（cm²）

因此，需要費用為0.10×240=24元.

評述：本題考查圓錐體的表面積的計算，以及解決實際問題的能力.

74.（Ⅰ）解： =?2?2?1=.

（Ⅱ）證明：記D₁C與DC₁的交點為O，連結OE.

∵O是CD₁的中點，E是BC的中點，∴EO∥BD₁，

∵BD₁平面C₁DE，EO平面C₁DE.∴BD₁∥平面C₁DE.

（Ⅲ）解：過C作CH⊥DE于H，連結C₁H.

在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，C₁C⊥平面ABCD，

∴C₁H⊥DE，∴∠C₁HC是面C₁DE與面CDE所成二面角的平面角.

∵DC=2，CC₁=1，CE=1.∴CH=

∴tanC₁HC=.即面C₁DE與面CDE所成二面角的正切值為.

評述：本題考查正四棱柱的基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.

75.（Ⅰ）證法一：連接AC.∵正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面是正方形.

∴AC⊥BD，又AC⊥D₁D，故AC⊥平面BDD₁B₁

∵E，F分別為AB，BC的中點，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD₁B₁

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

證法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD.

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

（Ⅱ）解：在對角面BDD₁B₁中，作D₁H⊥B₁G，垂足為H

∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁=B₁G，

∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足為H，∴點D₁到平面B₁EF的距離d=D₁H.

解法一：在Rt△D₁HB₁中，D₁H=D₁B₁?sinD₁B₁H，

∵D₁B₁=A₁B₁=4.

sinD₁B₁H=sinB₁GB=，

∴d=D₁H=4?

解法二：∵△D₁HB∽△B₁BG，∴

∴d=D₁H=.

解法三：如圖9―64，連接D₁G，則三角形D₁GB₁的面積等于正方形DBB₁D₁面積的一半.即B₁G?D₁H=BB₁².

∴d=.

（Ⅲ）?d?.

評述：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關系.要求對圖形必須具備一定的洞察力.并進行一定的邏輯推理.在研究本題時，要注意摘出平面圖形，便于計算.

76.（Ⅰ）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，  ∴SA⊥AB，SA⊥AC.

又AB∩AC=A，  ∴SA⊥平面ABC.

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC， 

由三垂線定理，得SC⊥BC.

（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC

∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，BC=5，SB=5. 

得SC==10

在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=

∴∠SCA=60°，即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°.

（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，

∵SA=.

S_△ABC=?AC?BC=×5×5=.

∴V_S－ABC=?S_△ACB?SA=.

77.（Ⅰ）同上題（Ⅰ）.

（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC，

∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由BC=，SB=，得

SC==4.

在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cosSCA=.

∴∠SCA=60°，即側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小為60°.

（Ⅲ）解：過點C作CD∥BA，過點A作BC的平行線交CD于D，連結SD，則∠SCD是異面直線SC與AB所成的角.如圖9―65.

又四邊形ABCD是平行四邊形，

DC=AB=，

SA=，

SD==5.

在△SCD中，cosSCD=

∴SC與AB所成的角的大小為arccos.

78.（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD，

∴BA是PA在面ABCD上的射影.

又DA⊥AB，∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角如圖9―66，∠PAB=60°.

而PB是四棱錐P―ABCD的高，PB=AB?tan60°=a，

∴V_錐=a?a²=a³.

（Ⅱ）證明：不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.

作AE⊥DP，垂足為E，連結EC，則△ADE≌△CDE，

∴AE=CE，∠CED=90°，故∠CEA是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

設AC與DB相交于點O，連結EO，則EO⊥AC，

∴a=OA＜AE＜AD=a.

在△AEC中，

cosAEC=.

所以，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°.

79.（Ⅰ）解：過B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G.如圖9―67

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，

∠A₁B₁C₁=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.

∴∠B₁PG為所求二面角的平面角.

過C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H.由于相對側(cè)面與底面所成二面角大小相等，故四邊形B₁PQC₁為等腰梯形.

∴PG=（b－d），

又B₁G=h，

∴tanB₁PG=（b＞d），即所求二面角的正切值為.

（Ⅱ）V_估＜V.

證明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V_估=

=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

=（a－c）（b－d）＞0.

∴V_估＜V.

80.（Ⅰ）解：過B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G.如圖9―68

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，

∠A₁B₁C₁=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.

∴∠B₁PG為所求二面角的平面角.過C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H.由于相對側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形B₁PQC₁為等腰梯形.

∴PG=（b－d）， 

又B₁G=h， 

∴tanB₁PG=（b＞d），

∴∠B₁PG=arctan，即所求二面角的大小為arctan.

（Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對邊，有AB∥CD，

又CD是面ABCD與面CDEF的交線，

∴AB∥面CDEF. 

∵EF是面ABFE與面CDEF的交線，

∴AB∥EF. 

∵AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，

∴EF∥面ABCD.

（Ⅲ）V_估＜V.

證明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V_估=

=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

=（a－c）（b－d）＞0.

∴V_估＜V.

評述：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應變能力和適應能力，而第三步研究擬柱體的近似計算公式與可精確計算體積的辛普生公式之間計算誤差的問題，是極具實際意義的問題.考查了考生繼續(xù)學習的潛能.

81.解：（Ⅰ）如圖9―69中圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐.

如圖9―69中圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角.余下部分按虛線折起，可成為一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱柱的上底.

圖9―69

（Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V_柱＞V_錐.

推理如下：

設給出正三角形紙片的邊長為2，那么，正三棱柱與正三棱錐的底面都是邊長為1的正三角形，其面積為.現(xiàn)在計算它們的高：

∴V_錐－V_柱=（h_錐－h_柱）?，

所以，V_柱＞V_錐.

評述：本題主要考查空間想象能力、動手操作能力、探究能力和靈活運用所學知識解決現(xiàn)實問題的能力，這是高考改革今后的命題方向.

82.解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連結PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，如圖9―70

∴MN=PQ.

由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴AC=BF=，  .

即CP=BQ=.

∴MN=PQ=

（0＜a＜）.

（Ⅱ）由（Ⅰ），MN=，

所以，當a=時，MN=.

即M、N分別移動到AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為.

（Ⅲ）取MN的中點G，連結AG、BG，如圖9―71

∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點

∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角，

又AG=BG=，所以，由余弦定理有

cosα=.

故所求二面角α=arccos（－）.

評述：該題考點多，具有一定深度，但入手不難，逐漸加深，邏輯推理和幾何計算交錯為一體；以兩個垂直的正方形為背景，加強空間想象能力的考查.體現(xiàn)了立體幾何從考查、論證和計算為重點，轉(zhuǎn)到既考查空間概念，又考查幾何論證和計算.但有所側(cè)重，融論證于難度適中的計算之中.反映教育改革趨勢，體現(xiàn)時代發(fā)展潮流.此外解答過程中，必須引入適當?shù)妮o助線，不僅考查識圖，還考查了基本的作圖技能.充分體現(xiàn)了“注重學科之間的內(nèi)在聯(lián)系”，較為深入和全面考查各種數(shù)學能力.

83.（Ⅰ）證明：∵CD⊥AB，VN⊥平面ABC，AB平面ABC，∴VN⊥AB.

又∵CD∩VN＝N  ∴平面VNC⊥AB

又∵MD平面VNC  ∴MD⊥AB

∴∠MDC為二面角M－MAB－C的平面角.如圖9―72

（Ⅱ）證明：∵VC平面VCN，∴AB⊥VC

又∵在△VCN和△CDM中，∠CVN＝∠MDC，∠VCN＝∠VCN 

∴∠DMC＝∠VNC＝90°.∴DM⊥VC

又∵AB∩DM＝D，AB、DM平面AMB 

∴VC⊥平面AMB．

（Ⅲ）解：∵MD⊥AB且MD⊥VC，∴MD為VC與AB的距離為h.

過M作ME⊥CD于E

∴V_MABC＝AB?CD×ME?ah²tanθ

84.（Ⅰ）證明：連結OF、CE、A′O.如圖9―73

∵AE＝BF  ∴EB＝CF  OC＝CB  ∠OCF＝∠CBE

∴△OCF≌△CEB  ∴∠ECB＝∠FOC，

∴OF⊥CE

又∵CC′⊥平面AC  CE⊥OF  ∴C′E⊥OF

又∵EB⊥平面BC′，C′B⊥B′C 

∴C′E⊥B′C

又∵A′O∥B′C  ∴C′E⊥A′O

又∵A′O∩OF＝O  C′E⊥A′O  C′E⊥OF

∴A′O⊥平面A′CO  A′F平面A′CO  ∴A′F⊥C′E

（Ⅱ）解：設EB＝y，BF＝x，邊長為a，則x＋y＝a，三棱錐B′―BEF的體積

當且僅當x＝y＝時等號成立.

因此，三棱錐B′―BEF的體積取得最大值時BE＝BF＝.

過B作BD⊥EF交EF于D，連B′D，可知B′D⊥EF

∴∠B′DB是二面角B′―EF―B的平面角

在Rt△BEF中，直角邊BE＝BF＝，BD是斜邊上的高.

∴BD＝a，tanB′DB＝

∴二面角B′―EF―B的大小為arctan2

85.解：∵四棱錐S―ABCD中ABCD為直角梯形.

又∵BC⊥AB  ∴AD⊥AB

又∵SA⊥面ABCD  ∴SA⊥AB  SA⊥AD

又∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A

∴AD⊥平面SAB

（Ⅰ）V_S―ABCD＝?SA?S_ABCD

S_ABCD＝（AD＋BC）?AB

AB＝1  BC＝1  AD＝

∴S_ABCD＝（＋1）×1＝

∴S_S―ABCD＝×1×＝

（Ⅱ）延長CD、BA交于點E，連結SE，SE即平面CSD與平面BSA的交線.

又∵DA⊥平面SAB，∴過A點作SE的垂線交于F.如圖9―74.

∵AD＝BC且AD∥BC 

∴△ADE∽△BCE 

∴EA＝AB＝SA

又∵SA⊥AE  ∴△SAE為等腰直角三角形，F為中點， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE

∴由三垂線定理得DF⊥SE

∴∠DFA為二面角的平面角

∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.

評述：欲求二面角的大小應遵循“構造―證明―計算”的步驟行事，這里首要的一步且先“出現(xiàn)兩個面的交線（棱）”否則構造難以實行.

86.解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，由已知△DAC為等腰直角三角形，如圖9―75

∴AC＝a，∠CAB＝45°．

過C作CH⊥AB，由AB＝2a，

可推得AC＝BC＝a． 

∴AC⊥BC

取AC的中點E，連結D′E， 

則D′E⊥AC．

又∵二面角α―AC―β為直二面角， 

∴D′E⊥β．

又∵BC平面β，  ∴BC⊥D′E，

∴BC⊥α，而D′Cα 

∴BC⊥D′C

∴∠D′CA為二面角β―BC―γ的平面角．

由于∠D′CA＝45°，

∴二面角β―BC―γ為45°．

（Ⅱ）取AC的中點E，連結D′E，再過D′作D′O⊥β，垂足為O，連結OE，

∵AC⊥D′E， 

∴AC⊥OE，

∴∠D′EO為二面角α―AC―β的平面角，如圖9―76

∴∠D′EO＝60°．

在Rt△D′OE中，

D′E＝a，D′O=a?sin60°=a

∴V_D′―ABC＝S_△ABC?D′O

＝×AC?BC?D′O