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湖南省長(zhǎng)沙一中2008-2009學(xué)年高三第八次月考

數(shù) 學(xué)(文科)

本試卷共3大題21小題，全卷總分150分，考試時(shí)間120分鐘．

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．設(shè)集合，，則（）

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A． B． C． D．

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2．在抽查某產(chǎn)品尺寸過(guò)程中，將其尺寸分成若干組，[a，b]是其中的一組

已知該組上的直方圖的高為h，則該組的頻率為

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A． B． C． D．

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3．函數(shù)的反函數(shù)為（）

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A． B． C． D．

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4．若－1＜＜＜1，則下列不等式中恒成立的是（）

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A．－1＜－＜1 B．－2＜－＜－1

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C．－2＜－＜0 D．－1＜－＜0

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5．的各項(xiàng)系數(shù)之和大于8且小于32,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

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6. 過(guò)點(diǎn)作直線，如果它與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線的條數(shù)是（）A． B． C． D．

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7. 在△ABC中，若，，，則的值為　�。ā　。　　．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

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8．已知三棱錐D―ABC的三個(gè)側(cè)面均與底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，則二面角D-BC-A為（）

A．30⁰ B．45⁰ C．60⁰ D．90⁰

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9．如圖，是判斷年份Y是否閏年的流程，則以下年份是閏年的是

A .2009 B .2100

C .1996 D. 2007

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10.已知函數(shù)表示過(guò)原點(diǎn)的曲線，且在處的切線斜率均為-1，有以下命題

①f(x)的解析式為：f(x)=x³-4x，x∈[-2，2]；

②f(x)的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)；

③f(x)的最大值與最小值之和等于零；

其中正確的命題個(gè)數(shù)為

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

橫線上）

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二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.將答案填在題中的

11．已知向量，且，則__________．

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12. 有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就坐，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這兩人不左右相鄰，那么不同的排法種數(shù)是

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13．若以連續(xù)擲兩次骰子所得的點(diǎn)數(shù)x，y為點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在圓的內(nèi)部的概率是 .

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14.已知，若，則，滿足條件的其中一個(gè)元素是 .（只寫出一個(gè)即可）.

15 . 歐美等國(guó)家流行一種“數(shù)獨(dú)”推理游戲，其游戲規(guī)則如下：

①在9×9的九宮格子中,分成9個(gè)3×3的小九宮格,用1到9這9個(gè)數(shù)字填滿整個(gè)格子;

②每一行與每一列都有1到9的數(shù)字，每個(gè)小九宮格里也有1到9的數(shù)字，并且一個(gè)數(shù)字在每行、每列及每個(gè)小九宮格里只能出現(xiàn)一次，既不能重復(fù)也不能少. 那么A處應(yīng)填入的數(shù)字為 ;B處應(yīng)填入的數(shù)字為 ;C處應(yīng)填入的數(shù)字為________.

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三、解答題（本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

16．（本小題滿分12分）

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已知函數(shù)R．

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(Ⅰ)求函數(shù)的最大值；

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(Ⅱ)試說(shuō)明函數(shù)的圖像可由函數(shù)R的圖像經(jīng)過(guò)怎樣變換得到？

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17．(本小題滿分12分)

2008年中國(guó)北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物由5個(gè)“中國(guó)福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮。現(xiàn)有8個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子中放一個(gè)福娃，每種福娃的數(shù)量如下表：

福娃名稱

貝貝

晶晶

歡歡

迎迎

妮妮

數(shù) 量

從中隨機(jī)地選取5只．

（Ⅰ）求選取的5只福娃恰好組成完整“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”的概率；

（Ⅱ）求選取的5只福娃距離組成完整“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”至少差一種福娃的概率．

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18.（本小題滿分12分）

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如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.

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（Ⅰ）試確定，使直線與平面所成角的正切值為；

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（Ⅱ）在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)任意的，在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論.

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19．（本小題滿分13分）

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已知，

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（Ⅰ）若，求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值；

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（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間和上都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍

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20．(本大題滿分13分)

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設(shè)等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和分別為和，，且，；函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，且(n∈N，n > 1)，c₁ = 1．
(1)求常數(shù)A的值及函數(shù)的解析式；
(2)求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；
(3)若，試求

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21．（本小題滿分13分）

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如圖，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)，線段OP的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)M滿足

（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；

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（Ⅱ）已知點(diǎn)F（0，），過(guò)點(diǎn)F的直線l交點(diǎn)M的軌跡于Q、R兩點(diǎn)，且求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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1.C. 集合，且，．

2. D. 由直方圖的意義即可直接求得結(jié)果．

3. B．由知，函數(shù)是奇函數(shù)，排除C，D. 由選B.

4. A. 顯然函數(shù)是偶函數(shù)，排除C.函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,于是排除B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其圖象可由函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到，故選A.

5. C. 六個(gè)小組每小組4個(gè)隊(duì), 進(jìn)行單循環(huán)賽的比賽場(chǎng)次一共有 6,16個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽比賽場(chǎng)次一共有確定冠亞軍一共需比賽場(chǎng)次, 故選C.

6ec8aac122bd4f6e

6.B.如圖所示,就是二面角的平面角,由圖知的取值范圍是.

7. B. 依題意得，若，則于是

而在橢圓上，故，代入整理得

又，解得．

8. C. 因?yàn)?009于2007不能被4整除，先排除A.D.又2100不能被400整除，所以2100不是閏年，排除B.從而選C.

9. B.設(shè)首項(xiàng)為公差為，則。于是過(guò)點(diǎn)和的直線斜率為則過(guò)點(diǎn)和的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)應(yīng)選B.

10. D. 易知點(diǎn)B在第一或第四象限.設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與曲線C相切于點(diǎn), 則切線斜率為,則, 則切點(diǎn)為,要使視線不被C擋住,必須滿足故選D.

11.6．由．

12．.由已知等式易知．取取

13.．點(diǎn)P的坐標(biāo)有36種，而圓內(nèi)部點(diǎn)的坐標(biāo)必須滿足則點(diǎn)P落在圓的內(nèi)部的坐標(biāo)種數(shù)為8種,

所以由等可能事件的概率計(jì)算公式得所求概率為.

14．6.依題意得顯然函數(shù)的最大值為6．

15. 1， 3， 1． A處在9×9的九宮格子中的第2行，第3列，按照1到9的數(shù)字在每一行只能出現(xiàn)一次知，A處不能填入3，5，7，9；按照1到9的數(shù)字在每一列中只能出現(xiàn)一次知，A處不能填入2，4，6，8，綜合知A處只能填入1．同理分析知C處只能填入１.B處只能填入３．

16(Ⅰ)

當(dāng)，

即時(shí)，有最大值1．此時(shí)函數(shù)的值最大, 最大值為．

(Ⅱ) 將的圖像依次進(jìn)行如下變換：

1.把函數(shù)的圖像向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像；

2.把得到的函數(shù)圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像；

3.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

就得到函數(shù)的圖像．

或按如下平移變換：

1.把函數(shù)的圖像向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像；

2.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)

的圖像．

3.把得到的函數(shù)圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像

17．（I）由等可能事件的概率意義及概率計(jì)算公式得P==； 3分

（II）設(shè)選取的5只福娃恰好距離組成完整“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”差一種福娃記為事件

　　　　A,差兩種福娃記為事件B, 依題意可知，所選５只福娃恰好距離組成完整“奧運(yùn)會(huì)

　　　　吉祥物”最多差２只，則

７分

１０分

　　　故選取的5只福娃距離組成完整“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”至少差一種福娃的概率為

　　　　　＝１２分

18.解法一：（１）如圖：

6ec8aac122bd4f6e

故.所以.又.

故

在△，即.

故當(dāng)時(shí)，直線.

（Ⅱ）依題意，要在上找一點(diǎn)，使得.可推測(cè)的中點(diǎn)即為所求的點(diǎn).因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ，所以

又,故.

從而

解法二：（１）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

6ec8aac122bd4f6e

則A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0), B₁(1,1,1), D₁(0,0,1).

所以

又由的一個(gè)法向量.

設(shè)與所成的角為，

則

依題意有：，解得.

故當(dāng)時(shí)，直線.

（２）若在上存在這樣的點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則.依題意，對(duì)任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等價(jià)于

，即為的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求

19．（Ⅰ） ,由得，

所以.由得或

_-2

_-1

_4/3

₂

₊

遞增

_9/2

遞減

_-50/27

遞增

由上表知：在區(qū)間上的最大值為，最小值為. （Ⅱ）的圖像為開口向上且過(guò)點(diǎn)的拋物線，由條件，，即得

20. (1)解：由知：，
而，，解得 2分
令，得，即R) 4分
(2)解：令，∴，即.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)n≥2時(shí)，.
綜合得： 6分
由題意：，變形得：，
∴數(shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列.
，即． 9分
(3)解：當(dāng) (N^*)時(shí)，

11分
當(dāng) (N^*)時(shí)，

． 13分