2009屆高考數(shù)學壓軸題預測

專題七  應用性問題

 

1.       近年來，太陽能技術運用的步伐日益加快．2002年全球太陽電池的年生產量達到670兆瓦，年生產量的增長率為34%．以后四年中，年生產量的增長率逐年遞增2%（如，2003年的年生產量的增長率為36%）．

   （1）求2006年全球太陽電池的年生產量（結果精確到0.1兆瓦）；

   （2）目前太陽電池產業(yè)存在的主要問題是市場安裝量遠小于生產量，2006年的實際安裝量為1420兆瓦．假設以后若干年內太陽電池的年生產量的增長率保持在42%，到2010年，要使年安裝量與年生產量基本持平（即年安裝量不少于年生產量的95%），這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應達到多少（結果精確到0.1%）？

 

分析：本題命題意圖是考查函數(shù)、不等式的解法等基礎知識，考查運用數(shù)學知識分析解決問題的能力。

解析（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太陽電池的年生產量的增長率依次為 ，，，．則2006年全球太陽電池的年生產量為    (兆瓦)．      

   （2）設太陽電池的年安裝量的平均增長率為，則．解得．因此，這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應達到．

  點評：審清題意，理順題目中各種量的關系是解決本題的關鍵。

2.       某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交元（）的管理費，預計當每件產品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件．（Ⅰ）求該分公司一年的利潤（萬元）與每件產品的售價的函數(shù)關系式；（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，該分公司一年的利潤最大，并求出的最大值．

分析：本題命題意圖是考查函數(shù)的解析式的求法、利用導數(shù)求最值、導數(shù)的應用等知識，考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力．

解析：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關系式為：   ．

（Ⅱ），令得或（不合題意，舍去）．

，．  在兩側的值由正變負．

所以（1）當即時，

．

（2）當即時，

，

所以

答：若，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）．

點評：準確進行導數(shù)運算，掌握運用導數(shù)判斷函數(shù)單調性及求函數(shù)極值、最值的方法是解決此題的關鍵。

3.       （07安徽文理）某國采用養(yǎng)老儲備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d>0），因此，歷年所交納的儲務金數(shù)目a1，a2，…是一個公差為d的等差數(shù)列，與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利.這就是說，如果固定年利率為r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)?i>a1（1＋r）a－1，第二年所交納的儲備金就變?yōu)?i>a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額.

（Ⅰ）寫出Tn與Tn－1（n≥2）的遞推關系式；

（Ⅱ）求證：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一個等比數(shù)列，｛Bn｝是一個等差數(shù)列.

分析：本小題命題意圖主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學生的閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學模型的能力，考查應用所學的知識分析和解決實際問題的能力。

解析：（1）我們有（）

（2），對反復使用上述關系式，得：

 

。①

在①式兩邊同乘以，得：

②

由②－①，得

，即  。

如果記，，則，其中是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項，以為公差的等差數(shù)列。

    點評：掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項公式、以及求和方法是解決此題的關鍵。

4.        如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達A1處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B1處，此時兩船相距10海里，問乙船每小時航行多少海里？（07山東理）

分析：本題命題意圖是通過實際問題考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解決問題的能力。

解析：如圖，連結，，， 是等邊三角形，，在中，由余弦定理得

，

，因此乙船的速度的大小為

答：乙船每小時航行海里.

點評：連接，構造兩個可解的三角形與是處理此題的關鍵，此外，還可連接來解。

5.      某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果均有A、B兩個等級.對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品.

   （Ⅰ）已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結

         果為A級的概率如表一所示，分別求生產

         出的甲、乙產品為一等品的概率P甲、P乙；

   （Ⅱ）已知一件產品的利潤如表二所示，用ξ、

         η分別表示一件甲、乙產品的利潤，在

        （I）的條件下，求ξ、η的分布列及

Eξ、Eη；

   （Ⅲ）已知生產一件產品需用的工人數(shù)和資金額

         如表三所示.該工廠有工人40名，可用資.

項目

 

產品

工人（名）

資金（萬元）

甲

8

8

乙

2

10

 

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  • 用

    量

             值時，最大？最大值是多少？

            （解答時須給出圖示）

     

     

    分析：本小題主要考查相互獨立事件的概率、隨機變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建立與求解等基礎知識，考查通過建立簡單的數(shù)學模型以解決實際問題的能力

    解析（Ⅰ）解：

    （Ⅱ）解：隨機變量、的分別列是

     

     

     

     

     

    （Ⅲ）解：由題設知目標函數(shù)為

    作出可行域（如圖），作直線

    將l向右上方平移至l1位置時，直線經過可行域上

    的點M點與原點距離最大，此時              取最大值. 解方程組  

        得即時，z取最大值，z的最大值為25.2 .

    點評：

    6.       某商場經銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為

    1

    2

    3

    4

    5

    0.4

    0.2

    0.2

    0.1

    0.1

    商場經銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元，表示經銷一件該商品的利潤。

    （Ⅰ）求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；

    （Ⅱ）求的分布列及期望。www.xkb123.com

    分析：本題命題意圖是主要考察對立事件的概率以及分布列及期望的知識，考查學生的閱讀理解能力及分析解決問題能力。

    解析：（Ⅰ）由表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”，

    ．

    （Ⅱ）的可能取值為元，元，元．，

    ，

    ．

    的分布列為

    （元）．

    點評：掌握對立事件的概率和為1，學會用間接法求解概率問題。

    7.       某人在一山坡P處觀看對面山項上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上，與水平地面的夾角為 , 試問此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大（不計此人的身高）

    解：如圖所示，建立平面直角坐標系，則A（200，0），B（0，220），C（0，300），

          直線l的方程為即        設點P的坐標為（x，y），      則    由經過兩點的直線的斜率公式

       由直線PC到直線PB的角的公式得，

    要使tanBPC達到最大，只須達到最小，由均值不等式

    當且僅當時上式取得等號，故當x=320時tanBPC最大，這時，點P的縱坐標y為

    由此實際問題知，所以tanBPC最大時，∠BPC最大，故當此人距水平地面60米高時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.

    8.       如圖，設曲線在點處的切線軸所圍成的三角形面積為，求（1）切線的方程；2）求證

    （1）解： ，

    切線的斜率為

    故切線的方程為，即

    （2）證明：令，又令，

    從而

    的最大值為，即

    點評：應用導數(shù)法求函數(shù)的最值，并結合函數(shù)圖象，可快速獲解，也充分體現(xiàn)了求導法

    在證明不等式中的優(yōu)越性。

    9.       對于定義在區(qū)間上的兩個函數(shù)和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱“不友好”的.現(xiàn)在有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間.

    （1）若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；

    （2）討論函數(shù)與在區(qū)間上是否“友好”.

    答案：（1）函數(shù)與在區(qū)間上有意義，

    必須滿足                               

    （2）假設存在實數(shù)，使得函數(shù)與在區(qū)間上是“友好”的，

    則  

    即                      （*）

    因為，而在的右側，

    所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，從而

                                

    于是不等式（*）成立的充要條件是

    因此，當時，函數(shù)與在區(qū)間上是“友好”的；當時，函數(shù)與在區(qū)間上是不“友好”的.

     

    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

     

     


    同步練習冊答案