【題目】祖沖之是中國南北朝時期的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，他在數(shù)學(xué)方面的突出貢獻是將圓周率的精確度計算到小數(shù)點后第位，也就是和之間，這一成就比歐洲早了多年，我校“愛數(shù)學(xué)”社團的同學(xué)，在祖沖之研究圓周率的方法啟發(fā)下，自制了一套計算圓周率的數(shù)學(xué)實驗?zāi)Ｐ?/span>.該模型三視圖如圖所示，模型內(nèi)置一個與其各個面都相切的球，該模型及其內(nèi)球在同一方向有開口裝置.實驗的時候，同學(xué)們隨機往模型中投擲大小相等，形狀相同的玻璃球，通過計算落在球內(nèi)的玻璃球數(shù)量，來估算圓周率的近似值.已知某次實驗中，某同學(xué)一次投擲了個玻璃球，請你根據(jù)祖沖之的圓周率精確度（取小數(shù)點后三位）估算落在球內(nèi)的玻璃球數(shù)量（ ）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

先求出正四面體的體積與內(nèi)切球的體積，設(shè)落在球內(nèi)的玻璃球數(shù)量為，由幾何概型的概率計算公式，得到即可解決.

由三視圖知，該模型是一個棱長為的正四面體及其內(nèi)切球，

正四面體體積，

過球心及正四面體頂點作截面，如圖所示，

易知，所以，即，解得

所以內(nèi)切球體積，

設(shè)落在球內(nèi)的玻璃球數(shù)量為，則，即

近似計算得.

故選：B.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法：

①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；

②設(shè)有一個線性回歸方程，變量x增加1個單位時，y平均增加5個單位；

③設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，則|r|越接近于0，x和y之間的線性相關(guān)程度越強；

④在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得K2的值，則K2的值越大，判斷兩個變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大．

以上錯誤結(jié)論的個數(shù)為(　　)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機調(diào)查了人，并將這人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額不超過元）：

消費金額（單位：百元）

頻數(shù)

由頻數(shù)分布表可以認為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值，）.現(xiàn)從該市任取名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額恰在元至元之間的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；

市某大學(xué)后勤部為鼓勵大學(xué)生在食堂消費，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標有第格、第格、第格、…、第格共個方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從到）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關(guān)成功”，并贈送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束.

①設(shè)棋子移到第格的概率為，求證：當時，是等比數(shù)列；

②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某機構(gòu)對某市工薪階層的收入情況與超前消費行為進行調(diào)查，隨機抽查了200人，將他們的月收入（單位：百元）頻數(shù)分布及超前消費的認同人數(shù)整理得到如下表格：

月收入（百元）

頻數(shù)

20

40

60

40

20

20

認同超前消費的人數(shù)

8

16

28

21

13

16

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認為當月收入以8000元為分界點時，該市的工薪階層對“超前消費”的態(tài)度有差異；

月收入不低于8000元

月收入低于8000元

總計

認同

不認同

總計

（2）若從月收入在的被調(diào)查對象中隨機選取2人進行調(diào)查，求至少有1個人不認同“超前消費”的概率.

參考公式：（其中）.

附表：

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為：.

（1）求直線和曲線的直角坐標方程；

（2），直線和曲線交于、兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知動圓過定點，且圓心到直線的距離比大.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）已知軌跡與直線相交于兩點.試問，在軸上是否存在一個定點使得是一個定值？如果存在，求出定點的坐標和這個定值；如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月，兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

（1）從全校學(xué)生中隨機抽取1人，估計該學(xué)生上個月，兩種支付方式都使用的概率；

（2）從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機抽取1人，以表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）當時，若存在正實數(shù)，使得對，都有，求的取值范圍..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過，則該養(yǎng)殖場考核為合格，該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

月份

1月

2月

3月

4月

5月

6月

7月

8月

月養(yǎng)殖量/千只3

3

4

5

6

7

9

10

12

月利潤/十萬元

3.6

4.1

4.4

5.2

6.2

7.5

7.9

9.1

生豬死亡數(shù)/只

29

37

49

53

77

98

126

145

（1）從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月，求恰好有2個月考核獲得合格的概率；

（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤y（十萬元）關(guān)于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.

（3）預(yù)計在今后的養(yǎng)殖中，月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關(guān)系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只，試估計：該月利潤約為多少萬元？

附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下：，

參考數(shù)據(jù)：.

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