Question

如圖所示，在MN左側(cè)有相距為d的兩塊正對(duì)的平行金屬板P、Q，板長(zhǎng)L=

3

d/3，兩板帶等量異種電荷，上極板帶負(fù)電．在MN右側(cè)存在垂直于紙面的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），其左邊界和下邊界分別與MN、AA’重合（邊界上有磁場(chǎng)）．現(xiàn)有一帶電粒子以初速度v₀沿兩板中央OO′射入，并恰好從下極板邊緣射出，又經(jīng)過(guò)在矩形有界磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，最終垂直于MN從A點(diǎn)向左水平射出． 已知A點(diǎn)與下極板右端的距離為d．不計(jì)帶電粒子重力．求：
（1）粒子從下極板邊緣射出時(shí)的速度；
（2）粒子從O運(yùn)動(dòng)到A經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）矩形有界磁場(chǎng)的最小面積．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子做平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的分解可得平行極板方向做勻速運(yùn)動(dòng)，垂直此方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求解；
（2）粒子做平拋運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系可得已知長(zhǎng)度與運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑的表達(dá)式．再由軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，從而求出所需要的時(shí)間；
（3）從幾何角度得出磁場(chǎng)的最小區(qū)域，再由面積公式即可求解．

解答：解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中平行極板方向勻速運(yùn)動(dòng)：

3

3

d=v0t
豎直方向從靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)：

1

2

d=

1

2

vyt，
解得vy=

3

v0
則粒子從下極板邊緣射出時(shí)的速度為v=

v 2 0 + v 2 y

=2v0，
且與豎直方向成30⁰角．
（2）帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=

3

3v0

d，由幾何關(guān)系可得r=

d

3

，
離開(kāi)電場(chǎng)后先做勻速運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=

3

2v0

r=

3

6v0

d
然后進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)120⁰到達(dá)A，
t3=

T

3

=

2πr

6v0

=

πd

9v0

所以帶電粒子從O運(yùn)動(dòng)至A所用的總時(shí)間為
t=t₁+t₂+t₃=(

3

2

+

π

9

)

d

v0

（3）由軌跡示意圖可知，磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挼扔谲壽E半徑r，高等于

3r

2

，而r=

d

3

，
所以矩形有界磁場(chǎng)的最小面積為S=r×

3r

2

=

d2

6

答：（1）粒子從下極板邊緣射出時(shí)的速度為2v₀，方向與豎直方向成30⁰角；
（2）粒子從O運(yùn)動(dòng)到A經(jīng)歷的時(shí)間時(shí)間=(

3

2

+

π

9

)

d

v0

；
（3）矩形有界磁場(chǎng)的最小面積為

d2

6

．

點(diǎn)評(píng)：理解平拋運(yùn)動(dòng)處理的運(yùn)動(dòng)分解規(guī)律，掌握勻速圓周運(yùn)動(dòng)的：定圓心、畫(huà)軌跡、求半徑的方法．同時(shí)運(yùn)用幾何知識(shí)來(lái)結(jié)合求解．