Question

17．如圖甲所示，足夠長的光滑平行金屬導軌傾斜放置，傾角θ=37°，寬度為l，電阻忽略不計，其上端接一電阻，阻值為R．一質(zhì)量為m的導體棒MN垂直于導軌放置，兩端與導軌接觸良好，接入電路的電阻為r，與導軌上端的距離為l．在導軌間存在著垂直于導軌平面向上的勻強磁場，磁感應強度大小隨時間變化的圖象如圖乙所示．已知導體棒在平行于導軌的拉力F作用下始終處于靜止狀態(tài)，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度為g．
（1）求拉力F隨時間變化的關系式；
（2）若在t=t₀時撤去拉力，求導體棒運動狀態(tài)達到穩(wěn)定時的速度大小及此時電阻R上消耗的電功率；
（3）若在t=t₀時撤去拉力，導體棒從釋放到速度達到穩(wěn)定時的位移為x，求導體棒在該過程中運動的時間．

Answer 1

分析 （1）在t₀時間內(nèi)，導體棒MN固定不動，磁場的磁感應強度均勻增大，回路中產(chǎn)生恒定的感應電動勢和感應電流，根據(jù)法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由閉合電路歐姆定律求解感應電流的大小，由楞次定律判斷感應電流的方向，由受力分析即可求出F的表達式．
（2）在t=t₀時撤去拉力后MN由靜止釋放，先做加速運動，速度增大時，所受的安培力增大，加速度減小，當加速度減小至零時做勻速直線運動，達到穩(wěn)定狀態(tài)，由平衡條件和安培力與速度的關系，求出穩(wěn)定時MN的速度；由功率公式求解R消耗的電功率．
（3）MN沿斜面向下運動的過程中重力沿斜面向下的分力的沖量與安培力的沖量的和等于棒MN動量的變化，由動量定理即可求出．

解答 解：（1）0～t₀時間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的感應電動勢為：
$E=\frac{△φ}{△t}={l}^{2}\frac{△B}{△t}=\frac{{B}_{0}{l}^{2}}{{t}_{0}}$
0～t₀時間內(nèi)，回路中的電流為$I=\frac{E}{R+r}$此階段電流恒定，由楞次定律可知，回路中的電流方向為N流向M；根據(jù)左手定則可知，MN受到的安培力的方向向上．對MN進行受力分析可得：
F+BIL=mgsinθ
又：B=$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}•t$
聯(lián)立可得：F=$0.6mg-\frac{{B}_{0}^{3}{l}^{3}}{{t}_{0}^{2}（R+r）}$
（2）t₀時刻之后，當速度增大到使導體棒受到的安培力與重力沿斜面向下的分力相等時，速度達到最大，即為：
$\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}v}{R+r}=mgsinθ$
解得導體棒運動的最大速度為：$v=\frac{0.6mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{l}^{2}}$
此時電阻R上消耗的電功率為：P=I²R=$\frac{0.36{m}^{2}{g}^{2}}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}$
（3）t₀時刻之后，在MN棒勻速直線運動前，電路中的平均電動勢為：$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}=\frac{{B}_{0}lx}{t}$
則平均感應電流為：$\overline{I}$′=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
MN棒所受的安培力大小為：$\overline{F}$=${B}_{0}\overline{I}l=\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}x}{t（R+r）}$，方向沿軌道向上．
MN沿斜面向下運動的過程中重力沿斜面向下的分力的沖量與安培力的沖量的和等于棒MN動量的變化，由動量定理得：
$mv=mgsinθ•t-\overline{F}t$
聯(lián)立得：t=$\frac{m（R+r）}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}+\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}x}{0.6mg（R+r）}$
答：（1）拉力F隨時間變化的關系式為F=$0.6mg-\frac{{B}_{0}^{3}{l}^{3}}{{t}_{0}^{2}（R+r）}$；
（2）若在t=t₀時撤去拉力，導體棒運動狀態(tài)達到穩(wěn)定時的速度大小是$\frac{0.6mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{l}^{2}}$，此時電阻R上消耗的電功率是$\frac{0.36{m}^{2}{g}^{2}}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}$；
（3）若在t=t₀時撤去拉力，導體棒從釋放到速度達到穩(wěn)定時的位移為x，導體棒在該過程中運動的時間是$\frac{m（R+r）}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}+\frac{{B}_{0}^{2}{l}^{2}x}{0.6mg（R+r）}$．

點評 本題運用法拉第電磁感應定律和歐姆定律結(jié)合求解感應電流的大�。�由平衡條件即可求出導體棒的速度，應用公式E=BLv求出感應電動勢，然后根據(jù)速度最大的臨界條件即可求出．