Question

2．如圖所示，一輕質(zhì)彈簧的上端固定在傾角為30°的光滑斜面頂部，下端栓接小物塊A，A通過一段細(xì)線與小物塊B相連，系統(tǒng)靜止時(shí)B恰位于斜面的中點(diǎn)．將細(xì)線燒斷，發(fā)現(xiàn)當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到斜面底端時(shí)，A剛好第三次到達(dá)最高點(diǎn)．已知B的質(zhì)量m=2kg，彈簧的勁度系數(shù)k=l00N/m，斜面長為L=5m，且始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，重力加速度g=l0m/s²．
（i）試證明小物塊A做簡諧運(yùn)動(dòng)；
（ii）求小物塊A振動(dòng)的振幅和周期．

Answer 1

分析 （1）對A進(jìn)行受力分析，得出受到的合力與位移x之間的關(guān)系，然后與簡諧振動(dòng)的公式比較即可得出結(jié)論；
（2）求出開始時(shí)彈簧的伸長量，結(jié)合線斷后A點(diǎn)的平衡位置，即可求出A的振幅；由牛頓第二定律求出B向下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后結(jié)合題目的條件求出A的周期．

解答 解：（1）燒斷細(xì)線后A向上運(yùn)動(dòng)，受力平衡時(shí)，設(shè)彈簧的伸長量為x₀，則：kx₀-m_Agsin30°=0  ①
選A的平衡位置處為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)系，用x表示A離開平衡位置的位移．當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到平衡位置下x位置時(shí)，物塊A受到的合力為：
F₀=m_Agsin30°-k（x-x₀）  ②
聯(lián)立①②得：F₀=-kx，可知A受到的合外力總是與物塊的位移成反比，所以A做簡諧振動(dòng)．
（2）開始時(shí)AB組成的系統(tǒng)靜止時(shí)，設(shè)彈簧的伸長量為x₁，根據(jù)胡克定律有：
kx₁-（m_A+m_B）gsin30°=0   ③
所以：${x}_{1}=\frac{（{m}_{A}+{m}_{B}）sin30°}{k}$
燒斷細(xì)線后A從此位置開始向上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)平衡位置運(yùn)動(dòng)的距離為物塊A的振幅，則：
A=${x}_{1}-{x}_{0}=\frac{mgsin30°}{k}$
代入數(shù)據(jù)得：A=0.1m
燒斷細(xì)線后B向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則：m_Bgsin30°=m_Ba
設(shè)B到達(dá)斜面底端的時(shí)間為t，則：$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
A向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過$\frac{1}{2}$周期第一次到達(dá)最高點(diǎn)，則第三次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間：t=2.5T
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得：T=0.4s
答：（i）證明小物塊A做簡諧運(yùn)動(dòng)如上；
（ii）小物塊A振動(dòng)的振幅是0.1m，周期是0.4s．

點(diǎn)評 該題以簡諧振動(dòng)為背景考查共點(diǎn)力平衡、牛頓第二定律的應(yīng)用等重點(diǎn)知識點(diǎn)，解答的關(guān)鍵是抓住題目中不同情況下的受力．