Question

2．為了研究過山車的原理，物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為37°、長為L=2.0m的粗糙的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個(gè)軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個(gè)小物塊以初速度v₀=4.0m/s，從某一高處水平拋出，恰從A點(diǎn)無碰撞地沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道AB的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）：
（1）求小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差；
（2）若豎直圓軌道半徑為1米，小物塊質(zhì)量為2kg，求小物塊運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）為了讓小物塊不離開軌道，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）從拋出點(diǎn)到A點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可解得落到A點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度v_y與h的關(guān)系，根據(jù)豎直方向速度v_y與水平方向速度v_x的夾角之間的關(guān)系，可以解得h．
（2）滑至圓軌道最低點(diǎn)時(shí)，小物塊所受重力和支持力的合力提供小物體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力；
（3）要使小物塊不離開軌道并且能夠滑回傾斜軌道AB，則小物體沿圓軌道上升的最大高度不能超過圓心，結(jié)合動(dòng)能定律列式求解．

解答 解、（1）設(shè)從拋出點(diǎn)到A點(diǎn)的高度差為h，到A點(diǎn)時(shí)有則有：${v_y}=\sqrt{2gh}$，且 $\frac{v_y}{v_0}=tan{37^0}$代入數(shù)據(jù)解得：h=0.45m
（2）小物塊從A到C的過程中只有重力和AB段的摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
${W}_{G}+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
即：$mgLsin37°-μmgLcos37°=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
物體運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度為：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gLsin37°-2μgLcos37°}$=$\sqrt{{4}^{2}+2×10×2×0.6-2×0.5×10×2×0.8}m/s=2\sqrt{6}m/s$
又在最低點(diǎn)有C重力和支持力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有：
$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
得：軌道對(duì)小物塊的支持力為：N=mg+$m\frac{{v}^{2}}{R}$=$2×10+2×\frac{24}{1}N=68N$
根據(jù)牛頓第三定律，所以物體對(duì)軌道的壓力為68N 
（3）小物體到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度：${v_A}=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=5m/s$
從A到B，由動(dòng)能定理：$mgLsin{37^0}-μmgcos{37^0}×L=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2$
要使小物塊不離開軌道并且能夠滑回傾斜軌道AB，則小物體沿圓軌道上升的最大高度不能超過圓心，即：$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}≤mgR′$
所以：R′≥1.65m
小物體到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度：${v_A}=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=5m/s$
從A到B，由動(dòng)能定理：$mgLsin{37^0}-μmgcos{37^0}×L=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2$
小物體從B到環(huán)最高點(diǎn)機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}mv_B^2=\frac{1}{2}mv_p^2+mg×2R$
在最高點(diǎn)有：$m\frac{v_p^2}{R}≥mg$
由④⑤⑥⑦解得為：R≤0.66m
答：（1）小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差是0.45m；
（2）若豎直圓軌道半徑為1米，小物塊質(zhì)量為2kg，小物塊運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是68N；
（3）為了讓小物塊不離開軌道，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足 R≤0.66m．

點(diǎn)評(píng) 此題要求熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律，包含知識(shí)點(diǎn)多，難度較大，屬于難題．