Question

1．如圖所示，在空間中存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，其邊界AB、CD間的寬度為d，在左邊界的Q點(diǎn)處有一質(zhì)量為m，帶電荷量為-q的粒子沿與左邊界成30°的方向射入磁場，粒子重力不計(jì)．求：
（1）若帶電粒子能從AB邊界射出，則粒子入射速度應(yīng)滿足的條件；
（2）若帶電粒子能垂直CD邊界飛出磁場，進(jìn)入如圖所示的有界勻強(qiáng)電場中減速至零后再返回，則有界電場的電壓的范圍及整個(gè)過程中帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）若帶電粒子的速度是（2）中的$\sqrt{3}$倍，并可以從Q點(diǎn)沿紙面向各個(gè)方向射入磁場，則粒子打到CD邊界上的長度是多少？

Answer 1

分析 （1）先作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子能從左邊界射出時(shí)臨界情況的軌道半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式即可求解最大速度；
（2）根據(jù)幾何知識(shí)求磁場中軌跡半徑，由動(dòng)能定理求極板間電壓．
帶電粒子能垂直CD邊界飛出磁場，穿過小孔進(jìn)入勻強(qiáng)電場中減速至零，然后由靜止返回做勻加速運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，確定磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，求出通過磁場的時(shí)間．
（3）若帶電粒子的速度是（2）中的$\sqrt{3}$倍，求出軌跡半徑，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求粒子能打到CD邊界的范圍．

解答 解：（1）粒子能從左邊界射出，臨界情況是軌跡與磁場右邊界相切，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則有 R+Rcos30°=d
由$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$得 $v=\frac{Bqd}{m（1+cos30°）}$
所以粒子能從左邊界射出速度應(yīng)滿足$v≤\frac{2（2-\sqrt{3}）qBd}{m}$．
（2）粒子能從右邊界垂直射出，由幾何知識(shí)得R=$\fracfjhptnx{cos30°}$
由$Bq{v}_{2}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
在電場中：$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=Uq$
解得：
  $U=\frac{{B}^{2}qt3hlx5b^{2}}{2m（cos30°）^{2}}=\frac{2{B}^{2}q9j75x5p^{2}}{3m}$
故粒子不碰到右極板所加電壓滿足的條件$U≥\frac{2{B}^{2}qbvxr39d^{2}}{3m}$
因粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所用時(shí)間為$\frac{T}{6}$，而$T=\frac{2πm}{Bq}$
因返回通過磁場所用時(shí)間相同，所以總時(shí)間　$t=2×\frac{T}{6}=\frac{2πm}{3Bq}$
（3）當(dāng)粒子速度為是（2）中的$\sqrt{3}$倍時(shí)   解得 R′=2d粒子，如圖
由幾何關(guān)系可得l=2×2dcos30°=2$\sqrt{3}d$
答：（1）若帶電粒子能從AB邊界射出，則粒子入射速度應(yīng)滿足的條件為$v≤\frac{2（2-\sqrt{3}）qBd}{m}$；
（2）有界電場的電壓的范圍為$U≥\frac{2{B}^{2}qvb1rvxt^{2}}{3m}$，整個(gè)過程中帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{2πm}{3qB}$；
（3）若帶電粒子的速度是（2）中的$\sqrt{3}$倍，并可以從Q點(diǎn)沿紙面向各個(gè)方向射入磁場，則粒子打到CD邊界上的長度是2$\sqrt{3}$d．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)要把握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在磁場中要注意找出相應(yīng)的幾何關(guān)系，從而確定圓心和半徑，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，難度適中．