Question

12．如圖所示，質(zhì)量為2M的小車A靜止在光滑水平桌面上，質(zhì)量為3M的物體B靜置于A車車廂內(nèi)，B左端用輕彈簧與A車連接，彈簧勁度系數(shù)為k且水平，處于原長(zhǎng)，小車底面光滑．質(zhì)量為M的小車C以速度v₀向小車A滑過去，并在與小車A碰撞后立即與A車粘連，整個(gè)過程中B始終不與車廂側(cè)壁碰撞．求之后的運(yùn)動(dòng)過程中彈簧的最大長(zhǎng)度與最短長(zhǎng)度之差．（彈簧彈性勢(shì)能表達(dá)式為E_p=$\frac{1}{2}$kx²，x為彈簧形變量）．

Answer 1

分析 A、C碰撞過程，A、B、C相互作用過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律可以求出物體的速度，A、B、C三者速度相等時(shí)彈簧的形變量最大，應(yīng)用能量守恒定律可以求出彈簧的最大彈性勢(shì)能，然后根據(jù)彈性勢(shì)能的表達(dá)式求出彈簧的形變量，最后求出長(zhǎng)度之差．

解答 解：當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)到最長(zhǎng)或壓縮到最短時(shí)，均為A、B、C達(dá)到共速時(shí)，設(shè)共同速度為v₁，以向左為正方向，對(duì)A、B、C系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：
Mv₀=6Mv₁，
解得：v₁=$\frac{{v}_{0}}{6}$，
C與A碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向左為正方向，設(shè)碰撞后的共同速度為v₂，由動(dòng)量守恒定律得：
Mv₀=3Mv₂，
解得：v₂=$\frac{{v}_{0}}{3}$，
由能量守恒定律得，彈簧最大彈性勢(shì)能：
E_Pm=$\frac{1}{2}$•3Mv₂²-$\frac{1}{2}$•6Mv₁²，
解得：E_Pm=$\frac{1}{12}$Mv₀²；
由E_P=$\frac{1}{2}$kx²可知：x_m=$\sqrt{\frac{M{v}_{0}^{2}}{6k}}$；
由于彈簧的最大伸長(zhǎng)量和最大壓縮量相等，
故運(yùn)動(dòng)過程中彈簧的最大長(zhǎng)度與最短長(zhǎng)度之差：△x=2x_m=$\sqrt{\frac{2M}{3k}}$v₀；
答：彈簧的最大長(zhǎng)度與最短長(zhǎng)度之差為$\sqrt{\frac{2M}{3k}}$v₀．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求彈簧的長(zhǎng)度之差，分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律即可正確解題；解題時(shí)要注意：由于彈簧的最大彈性勢(shì)能相等，彈簧的最大壓縮量與最大伸長(zhǎng)量相等．