Question

（2008?上海）如圖所示為研究電子槍中電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化模型示意圖．在Oxy平面的ABCD區(qū)域內(nèi)，存在兩個(gè)場(chǎng)強(qiáng)大小均為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)I和II，兩電場(chǎng)的邊界均是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形（不計(jì)電子所受重力）．
（1）在該區(qū)域AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，求電子離開ABCD區(qū)域的位置．
（2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開，求所有釋放點(diǎn)的位置．
（3）若將左側(cè)電場(chǎng)II整體水平向右移動(dòng)

L

n

（n≥1），仍使電子從ABCD區(qū)域左下角D處離開（D不隨電場(chǎng)移動(dòng)），求在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置．

Answer 1

分析：（1）、此問分為兩個(gè)過程，一是在電場(chǎng)Ⅰ區(qū)域的加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用能量的關(guān)系可求出加速后的速度；二是在電場(chǎng)Ⅱ區(qū)域內(nèi)的偏轉(zhuǎn)，運(yùn)用類平拋的知識(shí)可求出偏轉(zhuǎn)距離，從而得到電子離開ABCD區(qū)域的位置．
（2）、首先設(shè)出釋放點(diǎn)的坐標(biāo)，在運(yùn)用在電場(chǎng)I中的加速和在電場(chǎng)II中的類平拋運(yùn)動(dòng)，計(jì)算出表示xy的乘積的方程，滿足此式的點(diǎn)即為符合要求的點(diǎn)．
（3）、該問分為三個(gè)階段，一是在電場(chǎng)I中的直線加速運(yùn)動(dòng)，二是在電場(chǎng)II中的類平拋運(yùn)動(dòng)，三是從電場(chǎng)II射出后的勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合第二問的解題思路，可求出結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)電子的質(zhì)量為m，電量為e，在電場(chǎng)I中釋放后將做出速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，出區(qū)域I時(shí)的速度為v_o，接著進(jìn)入電場(chǎng)II做類平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)電子從CD邊射出，出射點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，對(duì)電子的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程運(yùn)用動(dòng)能定理和勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式有：eEL=

1

2

mv2
(

L

2

-y)=

1

2

 at2=

1

2

eE

m

(

L

v0

)2
以上兩式聯(lián)立解得：y=

1

4

L，所以原假設(shè)成立，即電子離開ABCD區(qū)域的位置坐標(biāo)為（-2L，

1

4

L）．
（2）設(shè)釋放點(diǎn)在電場(chǎng)區(qū)域I中，其坐標(biāo)為（x，y），在電場(chǎng)I中電子被加速到v₁，然后進(jìn)入電場(chǎng)II做類平拋運(yùn)動(dòng)，并從D點(diǎn)離開，有：eEx=

1

2

m

v

2 1

        y=

1

2

at2=

1

2

eE

m

(

L

v1

)2
以上兩式聯(lián)立解得：xy=

L2

4

，即在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)滿足方程的點(diǎn)即為所求位置．
（3）設(shè)電子從（x，y）點(diǎn)釋放，在電場(chǎng)I中加速到v₂，進(jìn)入電場(chǎng)II后做類平拋運(yùn)動(dòng)，在高度為y′處離開電場(chǎng)II時(shí)的情景與（2）中類似，然后電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過D點(diǎn)，則有：
eEx=

1

2

m

v

2 2

y-y′=

1

2

at2=

1

2

eE

m

(

L

v2

)2
vy=at=

eEL

mv2

，
y′=vy

L

nv2

以上各式解得：xy=L2(

1

2n

+

1

4

)，即在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)滿足方程的點(diǎn)即為所求位置．
答：（1）在該區(qū)域AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，電子從（-2L，

1

4

L）離開ABCD區(qū)域．
（2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開，所有釋放點(diǎn)為滿足xy=

L2

4

的位置．
（3）若將左側(cè)電場(chǎng)II整體水平向右移動(dòng)

L

n

（n≥1），仍使電子從ABCD區(qū)域左下角D處離開（D不隨電場(chǎng)移動(dòng)），在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置為xy=L2(

1

2n

+

1

4

)．

點(diǎn)評(píng)：（2008?上海） 本題考核了帶電粒子在簡(jiǎn)化的電子槍模型中的運(yùn)動(dòng)情況，是一道拓展型試題，與常見題所不同的是，一般試題是已知電子的出發(fā)點(diǎn)，然后求電子在電場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)過程中的軌跡或離開電場(chǎng)的出射點(diǎn)位置，而本題則是反其道而行之，是規(guī)定了電子的出射點(diǎn)，要反推出在何處發(fā)出電子才能滿足所述要求．從內(nèi)容看，該題涉及的是電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，這部分知識(shí)學(xué)生相對(duì)比較熟悉，也是經(jīng)常訓(xùn)練的題型之一，只不過本題作了拓展．