Question

20．如圖所示，ABCD豎直放置的光滑絕緣細管道，其中AB部分是半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧形管道，BCD部分是固定的水平管道，兩部分管道恰好相切于B．水平面內(nèi)的M、N、B三點連線構(gòu)成邊長為L等邊三角形，MN連線過C點且垂直于BCD．兩個帶等量異種電荷的點電荷分別固定在M、N兩點，電荷量分別為+Q和-Q．現(xiàn)把質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球（小球直徑略小于管道內(nèi)徑，小球可視為點電荷），由管道的A處靜止釋放，已知靜電力常量為k，重力加速度為g．求：
（1）小球運動到B處時受到電場力的大��；
（2）小球運動到C處時的速度大小；
（3）小球運動到圓弧最低點B處時，小球?qū)�管道壓力的大�。?

Answer 1

分析 （1）根據(jù)庫侖定律，結(jié)合平行四邊形定則求出小球運動到B處時受到的電場力大�。�
（2）小球在管道中運動時，小球受到的電場力和管道對它的彈力都不做功，只有重力對小球做功，根據(jù)機械能守恒定律求出C點的速度．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在B點豎直方向上的分力，結(jié)合庫侖定律求出水平方向上的分力，從而根據(jù)平行四邊形定則求出在B點受到的彈力大小．

解答 解：（1）設(shè)小球在圓弧形管道最低點B處分別受到+Q和-Q的庫侖力分別為F₁和F₂．則${F_1}={F_2}=k\frac{qQ}{L^2}$    ①
小球沿水平方向受到的電場力為F₁和F₂的合力F，由平行四邊形定則得F=2F₁cos60°   ②
聯(lián)立①②得$F=k\frac{qQ}{L^2}$     ③
（2）管道所在的豎直平面是+Q和-Q形成的合電場的一個等勢面，小球在管道中運動時，小球受到的電場力和管道對它的彈力都不做功，只有重力對小球做功，小球的機械能守恒，有$mgR=\frac{1}{2}mv_C^2-0$     ④
解得${v_C}=\sqrt{2gR}$     ⑤
（3）設(shè)在B點管道對小球沿豎直方向的壓力的分力為N_By，在豎直方向?qū)π∏驊?yīng)用牛頓第二定律得${N}_{By}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$  ⑥
v_B=v_C ⑦
聯(lián)立⑤⑥⑦解得N_By=3mg⑧
設(shè)在B點管道對小球在水平方向的壓力的分力為N_Bx，則${N_{Bx}}=F=k\frac{qQ}{L^2}$⑨
圓弧形管道最低點B處對小球的壓力大小為${N_B}=\sqrt{N_{Bx}^2+N_{By}^2}=\sqrt{9{m^2}{g^2}+{{（k\frac{qQ}{L^2}）}^2}}$．⑩
由牛頓第三定律可得小球?qū)�圓弧管道最低點B的壓力大小為${N'_B}={N_B}=\sqrt{9{m^2}{g^2}+{{（k\frac{qQ}{L^2}）}^2}}$．
答：（1）小球運動到B處時受到電場力的大小為$k\frac{Qq}{{L}^{2}}$；
（2）小球運動到C處時的速度大小為$\sqrt{2gR}$；
（3）小球運動到圓弧最低點B處時，小球?qū)�管道壓力的大小�?\sqrt{9{m}^{2}{g}^{2}+（k\frac{qQ}{{L}^{2}}）^{2}}$．

點評 此題屬于電場力與重力場的復(fù)合場，關(guān)鍵是根據(jù)機械能守恒和功能關(guān)系進行判斷．要注意到電場力與重力、支持力不在同一條直線上．