Question

14．如圖甲所示，光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌間距為l，左側(cè)接一阻值為R的電阻．在MN與PQ之間存在垂直軌道平面的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)寬度為d．一質(zhì)量為m的金屬棒ab置于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌和金屬棒的電阻．金屬棒ab受水平力F=$\sqrt{0.2x}$+0.4（N）的作用，其中x為金屬棒距MN的距離，F(xiàn)與x的關(guān)系如圖乙所示．金屬棒ab從磁場(chǎng)的左邊界由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，通過(guò)電壓傳感器測(cè)得電阻R兩端電壓隨時(shí)間均勻增大．已知l=1m，m=1kg，R=0.5Ω，d=1m．問(wèn)：
（1）金屬棒剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為多少？并判斷該金屬棒在磁場(chǎng)中做何種運(yùn)動(dòng)．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為多少？
（3）若某時(shí)刻撤去外力F后棒的速度v隨位移s的變化規(guī)律滿足v=v₀-$\frac{{{B^2}{l^2}}}{mR}$s（v₀為撤去外力時(shí)的速度，s為撤去外力F后的位移），且棒運(yùn)動(dòng)到PQ處時(shí)恰好靜止，則外力F作用的時(shí)間為多少？
（4）在（3）的情況下，金屬棒從MN運(yùn)動(dòng)到PQ的整個(gè)過(guò)程中左側(cè)電阻R產(chǎn)生的熱量約為多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)金屬棒受力分析，然后由牛頓第二定律求出加速度，根據(jù)題意，應(yīng)用E=BLv判斷金屬棒的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)；
（2）由圖象求出x與F的對(duì)應(yīng)值，應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式、題意求出物體的位移，然后求出力的作用時(shí)間；
（4）克服安培力做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，由動(dòng)能定理可以求出R產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）金屬棒剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)x=0，且v=0，不受安培力作用，所以此時(shí)所受合外力為：
F=$\sqrt{0.2x}+0.4$=0.4N，
由牛頓第二定可得：a=$\frac{F}{m}=\frac{0.4}{1}$m/s²=0.4m/s²  
依題意，電阻R兩端電壓隨時(shí)間均勻增大，即金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間均勻增大，根據(jù)ε=Blv，可知金屬棒的速度隨時(shí)間均勻增大，所以金屬棒做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)
（2）金屬棒做初速度為零，加速度為a=0.4m/s²的勻變速運(yùn)動(dòng)，則$v=\sqrt{2ax}$…①
由牛頓第二定可知：$F-\frac{{{B^2}{l^2}v}}{R}=ma$…②
又F=$\sqrt{0.2x}+0.4$，
代入得：$（\sqrt{0.2}-\frac{{{B^2}{l^2}}}{R}\sqrt{2a}）\sqrt{x}+0.4=ma$
所以 $\sqrt{0.2}-\frac{{{B^2}{l^2}}}{R}\sqrt{2a}=0$…③
解得：$B=\sqrt{\frac{{\sqrt{0.2}R}}{{\sqrt{2a}{l^2}}}}=\sqrt{\frac{{\sqrt{0.2}•0.5}}{{\sqrt{2•0.4}×{1^2}}}}T=0.5T$…④
從圖乙可知，當(dāng)x=0.8m時(shí)，F(xiàn)=0.8N，代入②式有$0.8-\frac{{{B^2}×{1^2}}}{0.5}\sqrt{2×0.4×0.8}=1×0.4$…③
解得：B=0.5T…④
（3）設(shè)外力F作用的時(shí)間為t，則力F作用時(shí)金屬棒運(yùn)動(dòng)距離：$x=\frac{1}{2}a{t^2}$，
撤去外力后金屬棒的速度為：$v={v_0}-\frac{{{B^2}{l^2}}}{mR}s$，
到PQ恰好靜止，所以v=0，v₀=at，
得撤去外力后金屬棒運(yùn)動(dòng)距離：$s=\frac{mR}{{{B^2}{l^2}}}•at$；
因此$\frac{1}{2}a{t^2}+\frac{mR}{{{B^2}{l^2}}}•at=d$
代入相關(guān)數(shù)值，得：0.2t²+0.8t-1=0，
解得：t=1s
（4）力F作用時(shí)金屬棒運(yùn)動(dòng)距離：$x=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{1}{2}×0.4×{1^2}m=0.2m$
由F-x圖可知圖線與橫、縱坐標(biāo)軸所圍面積代表在此過(guò)程中外力F做的功W_F，通過(guò)數(shù)格子可知W_F約為0.11J．
金屬棒從MN開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到PQ邊靜止，由動(dòng)能定理得：W_F+W_安=0
所以電阻R產(chǎn)生的熱量為：Q_R=-W_安=W_F=0.11J
答：（1）金屬棒剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為0.44m/s²；該金屬棒在磁場(chǎng)中初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為0.5T；
（3）外力F作用的時(shí)間為1s；
（4）在（3）的情況下，金屬棒從MN運(yùn)動(dòng)到PQ的整個(gè)過(guò)程中左側(cè)電阻R產(chǎn)生的熱量約為0.11J．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道電磁感應(yīng)、力學(xué)相結(jié)合的綜合題，難度較大，分析清楚金屬棒的運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用題目所給條件、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題；電阻R產(chǎn)生的熱量等于克服安培力所做的功