Question

4．如圖所示，質(zhì)量為m₁=10kg的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方斜面上的質(zhì)量為m₂=30kg的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k=50N/m，斜面是光滑的，其傾角為θ=30°．A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)．一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連質(zhì)量為m₃=17kg的物體C．物體C又套在粗糙豎直固定的細(xì)桿上，開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)，但沒繃緊，OC段繩是水平的，OC段的距離d=6m，A上方的一段繩沿斜面方向．現(xiàn)在靜止釋放物體C，已知它恰好能使B離開擋板但不繼續(xù)上升．若將C換成另一個質(zhì)量為m₄=$\frac{64}{3}kg$的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，（C物體、D物體在桿上下滑過程中，摩擦力變化情況可以認(rèn)為是相同的）已知重力加速度為g=10m/s²．求：
（1）當(dāng)B剛離開擋板時，物體A上升的距離L；
（2）當(dāng)B剛離開擋板時，A的速度v₁大小是多少？
（3）當(dāng)B剛離開擋板時，A的加速度a_A是多大？（已知此時D的加速度a_D=2m/s²，D在此處受到的摩擦力f=$\frac{15.2}{3}N$）

Answer 1

分析 （1）先求出開始時彈簧的壓縮量，再求出當(dāng)B剛離開擋板時彈簧的伸長量，從而得到物體A上升的距離L．
（2）對A、B、C彈簧和地球組成的系統(tǒng)，由于只有重力和彈簧的彈力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律列式即可求解．
（3）當(dāng)B剛離開擋板時，分別對A、D運(yùn)用牛頓第二定律列式，即可求解A的加速度a_A．

解答 解：（1）開始時，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為x₁，有：kx₁=m₁gsinθ               
設(shè)B剛要離開擋板時彈簧的伸長量為x₂，則有：kx₂=m₂gsinθ  
由幾何關(guān)系有：L=x₁+x₂；
解得A上升的距離為：$L=\frac{{（{m_1}g+{m_2}g）sinθ}}{k}$=4m
（2）設(shè)第一次運(yùn)動過程中，彈簧的彈性勢能的變化為△E_p，C與桿的摩擦生熱為Q，C下降的高度為：$h=\sqrt{{{（6+4）}^2}-{6^2}}=8m$
對A、B、C彈簧和地球組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律得：m₃gh=m₁gLsinθ+△E_p+Q
在第二次運(yùn)動過程中，當(dāng)B剛離開擋板時，設(shè)A速度為v₁D速度為v₂
對A、B、D彈簧和地球組成的系統(tǒng)使用能量守恒定律，由題意得：${m_4}gh={m_1}gLsinθ+△{E_p}+Q+\frac{1}{2}{m_1}v_1^2+\frac{1}{2}{m_4}v_2^2$
又 v₁=v₂cos37°
聯(lián)立解得：v₁=4 m/s
（3）當(dāng)B剛離開擋板時，設(shè)繩子的對D拉力為T，由牛頓第二定律得：m₄g-0.8T-f=m₄a_D
當(dāng)B剛離開擋板時，設(shè)彈簧對A 的拉力為f₁，則有：f₁=m₂gsinθ
T-m₁gsinθ-f₁=ma_A
解得：a_A=0.7m/s²
答：（1）當(dāng)B剛離開擋板時，物體A上升的距離L是4m；
（2）當(dāng)B剛離開擋板時，A的速度v₁大小是4m/s．
（3）當(dāng)B剛離開擋板時，A的加速度a_A是0.7m/s²．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要明確研究過程和狀態(tài)，選擇好研究對象，并正確分析受力情況．運(yùn)用隔離法求A的加速度．