Question

7．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有兩根相互平行、電阻忽略不計(jì)的金屬導(dǎo)軌（足夠長(zhǎng)），在導(dǎo)軌間接有阻值分別為R₁、R₂的兩個(gè)電阻，一根質(zhì)量為m的金屬棒ab垂直導(dǎo)軌放置其上，整個(gè)裝置處于垂直導(dǎo)軌所在平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，現(xiàn)讓金屬棒ab沿導(dǎo)軌由靜止開始運(yùn)動(dòng)，若只閉合開關(guān)S₁，金屬棒ab下滑達(dá)到的最大速度為v₁；若只閉合開關(guān)S₂，金屬棒ab下滑高度為h時(shí)達(dá)到的最大速度為v₂，重力加速度為g，求：
（1）金屬棒的電阻r；
（2）在金屬棒ab由靜止開始到達(dá)到最大速度v₂的過程中，通過電阻R₂的電荷量Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件結(jié)合安培力的計(jì)算公式列方程聯(lián)立求解金屬棒的電阻r；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律結(jié)合電荷量的計(jì)算公式求解．

解答 解：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)，
當(dāng)金屬棒的速度達(dá)到最大為v₁時(shí)，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得：mg=BI₁L，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：I₁=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{1}+r}=\frac{BL{v}_{1}}{{R}_{1}+r}$，
解得：mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{R}_{1}+r}$；
當(dāng)金屬棒的速度達(dá)到最大為v₂時(shí)，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得：mg=BI₂L，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：I₂=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{2}+r}=\frac{BL{v}_{2}}{{R}_{2}+r}$，
解得：mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{{R}_{2}+r}$；
聯(lián)立解得：r=$\frac{{R}_{2}{v}_{1}-{R}_{1}{v}_{2}}{{v}_{2}-{v}_{1}}$；
（2）將r=$\frac{{R}_{2}{v}_{1}-{R}_{1}{v}_{2}}{{v}_{2}-{v}_{1}}$代入mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{R}_{1}+r}$解得：BL=$\sqrt{\frac{mg（{R}_{2}-{R}_{1}）}{{v}_{2}-{v}_{1}}}$；
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得平即感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=$\frac{△Φ}{△t}=\frac{BLh}{△t}$，
根據(jù)電荷量的計(jì)算公式Q=I•△t可得：
Q=$\frac{△Φ}{r+{R}_{2}}$=$\frac{BLh}{{R}_{2}+r}$=$\frac{h}{{v}_{2}}\sqrt{\frac{mg（{v}_{2}-{v}_{1}）}{{R}_{2}-{R}_{1}}}$．
答：（1）金屬棒的電阻為$\frac{{R}_{2}{v}_{1}-{R}_{1}{v}_{2}}{{v}_{2}-{v}_{1}}$；
（2）在金屬棒ab由靜止開始到達(dá)到最大速度v₂的過程中，通過電阻R₂的電荷量為$\frac{h}{{v}_{2}}\sqrt{\frac{mg（{v}_{2}-{v}_{1}）}{{R}_{2}-{R}_{1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．