Question

如題圖，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內。小球A、B質量分別為m、βm(β為待定系數(shù))。A球從工邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點的B球相撞，碰撞后A、B球能達到的最大高度均為,碰撞中無機械能損失。重力加速度為g。試求：

(1)待定系數(shù)β;

(2)第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度和B球對軌道的壓力;

(3)小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度。

　

Answer 1

解（1）由  mgR= mgR/4+ βmgR/4  得 ：β=3

（2）設 A、B 碰撞后的速度分別為 v₁、v₂，則 ：1/2mv₁²=mgR/4   1/2βmv₂² = βmgR/4

設向右為正、向左為負，解得

 ，方向向左

，方向向右

設軌道對 B 球的支持力為 N， B 球對軌道的壓力為N′，方向豎直向上為正、 向下為負.

則：

方向豎直向下。

（3）設 A、B 球第二次碰撞剛結束時的速度分別為 V₁、V₂，則 ：

   解得

（另一組解：V₁=-v₁，V₂=-v₂ 不合題意，舍去）

由此可得：

當 n為奇數(shù)時，小球 A、B 在第 n次碰撞剛結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同；

當 n為偶數(shù)時，小球 A、B 在第 n次碰撞剛結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同；