Question

【題目】如圖所示，水平地面和半徑R＝0.5 m的半圓軌道面PTQ均光滑，質(zhì)量M＝1 kg、長(zhǎng)L＝4 m的小車(chē)放在地面上，右端點(diǎn)與墻壁的距離為s＝3 m，小車(chē)上表面與半圓軌道最低點(diǎn)P的切線相平．現(xiàn)有一質(zhì)量m＝2 kg的滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))以v0＝6 m/s的水平初速度滑上小車(chē)左端，帶動(dòng)小車(chē)向右運(yùn)動(dòng)，小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上．已知滑塊與小車(chē)上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，取g＝10 m/s2.

(1)求小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)滑塊的速率；

(2)求滑塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；

(3)若半圓軌道的半徑可變但最低點(diǎn)P不變，為使滑塊在半圓軌道內(nèi)滑動(dòng)的過(guò)程中不脫離軌道，求半圓軌道半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)4 m/s (2)68 N 豎直向下

(3)R≤0.24 m或R≥0.60 m

【解析】(1)滑塊滑上小車(chē)后，小車(chē)將做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，滑塊將做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)滑塊加速度為a1，小車(chē)加速度為a2，由牛頓第二定律得：

對(duì)滑塊有－μmg＝ma1

對(duì)小車(chē)有μmg＝Ma2

當(dāng)滑塊相對(duì)小車(chē)靜止時(shí)，兩者速度相等，設(shè)小車(chē)與滑塊經(jīng)歷時(shí)間t后速度相等，則有v0＋a1t＝a2t

滑塊的位移s1＝v0t＋a1t2

小車(chē)的位移s2＝a2t2

代入數(shù)據(jù)得Δs＝s1－s2＝3 m＜L且s2＜s，說(shuō)明小車(chē)與墻壁碰撞前滑塊與小車(chē)已具有共同速度

故小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)的速率為v1＝a2t＝4 m/s.

(2)設(shè)滑塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度為vP

－μmg(L－Δs)＝mv－mv

FN－mg＝

解得FN＝68 N

根據(jù)牛頓第三定律有滑塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力FN′＝FN＝68 N，方向豎直向下．

(3)若滑塊恰能滑過(guò)半圓的最高點(diǎn)，設(shè)滑至最高點(diǎn)的速率為vQ，臨界條件為：

mg＝m

－mg·2Rmax＝mv－mv

代入數(shù)據(jù)得Rmax＝0.24 m

若滑塊恰好滑至1/4圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)速度為零，則滑塊也能沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離半圓軌道，此時(shí)有：

－mgRmin＝0－mv

Rmin＝0.60 m

所以，若滑塊在半圓軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離半圓軌道，則半圓軌道的半徑必須滿(mǎn)足R≤0.24 m或R≥0.60 m.