Question

12．如圖，粗糙水平面與光滑的、半徑為R=20cm的$\frac{1}{4}$圓弧軌道BC平滑相接，C點的切線沿豎直方向，在C點正上方有一離C點高度為h=12cm的旋轉(zhuǎn)平臺，沿平臺直徑方向開有兩個離軸心距離相等的小孔P、Q，旋轉(zhuǎn)時兩孔均能到達C點正上方．一勁度系數(shù)為k=100N/m的輕彈簧左端固定在豎直墻壁上，右端有一質(zhì)量為m=1kg的小物塊（不栓接）．開始時用手將小物塊按住處于A點，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，壓縮量為40cm，AB間的距離L=70cm，放手后物塊被彈出．已知彈性勢能的計算式為E_p=$\frac{1}{2}$kx²，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.4，g取10m/s²．求：
（1）小物塊在此后運動過程中的最大動能．
（2）小物塊上升到達旋轉(zhuǎn)平臺時的速度大小．
（3）若小物塊能通過P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺勻速轉(zhuǎn)動的角速度應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）滑塊從A運動到B的過程中，彈力先大于滑動摩擦力，后小于滑動摩擦力，先加速后減速，當彈力等于摩擦力時速度最大，由此列式求出速度最大時彈簧的壓縮量．再由動能定理求最大速度．
（2）滑塊從A運動到P的過程中，經(jīng)歷了兩個過程，一是在水平面上，摩擦力做負功；二是從B運動到P的過程，重力做負功，根據(jù)動能定理求解小球剛到達P位置時的速度．
（3）滑塊穿過P孔做豎直上拋運動，由題意，滑塊滑過C點后正好穿過P孔，又恰能從Q孔落下，故應在滑塊下落的時間內(nèi)，平臺轉(zhuǎn)動半周的奇數(shù)倍．根據(jù)滑塊上拋的時間，求出平臺轉(zhuǎn)動的周期，即可求出角速度．

解答 解：（1）當彈力與摩擦力大小相等時，滑塊速度最大，有 kx₂=μmg，
代入數(shù)據(jù)得：x₂=0.04m
根據(jù)動能定理，有：W_彈-μmg（x₁-x₂）=E_km
又${W_彈}={E_{p1}}-{E_{p2}}=\frac{1}{2}k{x_1}^2-\frac{1}{2}k{x_2}^2=7.92J$
代入數(shù)據(jù)可得：E_km=6.48J
（2）對A到P的過程用動能定理得：
$\frac{1}{2}k{x_0}^2-μmgL-mg（R+h）=\frac{1}{2}m{v^2}$
代入數(shù)據(jù)可得：v=2m/s
（3）從P孔上升到Q孔落下的時間為：$t=2\frac{v}{g}=0.4s$
題意，滑塊滑過C點后正好穿過P孔，又恰能從Q孔落下，故應在滑塊下落的時間內(nèi)，平臺轉(zhuǎn)動半周的奇數(shù)倍，則有：
ωt=（2k+1）π
解得：ω=（5k+2.5）π rad/s（k=0，1，2…）
答：（1）小物塊在此后運動過程中的最大動能是6.48J．
（2）小物塊上升到達旋轉(zhuǎn)平臺時的速度大小是2m/s．
（3）若小物塊能通過P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺勻速轉(zhuǎn)動的角速度應滿足的條件是ω=（5k+2.5）π rad/s（k=0，1，2…）．

點評 本題考查機械能守恒定律及動能定理的應用，在解題時要注意靈活選擇運動過程，對不同的過程應用合適的物理規(guī)律；同時注意最后一問中圓周運動的周期性．