Question

10．如圖所示，豎直平面內有一電阻為R₁、粗細均勻的光滑U形金屬框BAHG，其中AH=l，AB=HG=$\frac{1}{2}$AH．在B、G處與寬度為l、電阻不計的平行光滑金屬導軌BD、GE相接，DE之間接有電阻R₂，已知R₁=8R，R₂=4R．在BG上方及CF下方有水平方向的勻強磁場，磁感應強度大小均為B．現(xiàn)有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從AH處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與金屬框及軌道接觸良好，設平行導軌足夠長．已知導體棒下落$\frac{l}{4}$時的速度大小為v₁，下落到BG處時的速度大小為v₂．
（1）求導體棒ab從AH處下落$\frac{l}{4}$時的加速度大��；
（2）若導體棒ab進入CF下方的磁場后棒中電流大小始終不變，求BG與CF之間的距離h和R₂上的電功率P₂；
（3）若將CF下方的磁場邊界略微下移，導體棒ab進入CF下方的磁場時的速度大小為v₃，要使其在外力F作用下做勻加速直線運動，加速度大小為a，求所加外力F隨時間變化的關系式．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，由牛頓第二定律可以求出加速度．
（2）由安培力公式求出安培力，當導體棒勻速運動時感應電流不變，由平衡條件求出導體棒勻速運動的速度，然后求出距離，由電功率公式求出電功率．
（3）由安培力公式求出安培力，然后應用牛頓第二定律可以求出F隨時間變化的關系．

解答 解：（1）導體棒下落$\frac{1}{4}l$時的電動勢E=Blv₁
通過導體棒ab的電流：$I=\frac{E}{3R}=\frac{{Bl{v_1}}}{3R}$，
導體棒ab受到的安培力：$F=BIl=B\frac{{Bl{v_1}}}{3R}l$
導體棒ab的加速度$a=\frac{mg-F}{m}=g-\frac{{{B^2}{l^2}{v_1}}}{3mR}$；
（2）設導體棒ab進入CF下方磁場的速度為v，
導體棒的電動勢：E=Blv，
通過導體棒ab的電流：$I=\frac{3E}{8R}=\frac{3Blv}{8R}$，
導體棒ab受到的安培力：$F=BIl=B\frac{3Blv}{8R}l$，
由導體棒ab中電流大小始終不變，得：$B\frac{3Blv}{8R}l=mg$，
解得，棒的速度：$v=\frac{8mgR}{{3{B^2}{l^2}}}$，
發(fā)生位移h過程中做勻加速運動，${v^2}-v_2^2=2gh$，
解得：$h=\frac{{32{m^2}{g^2}{R^2}}}{{9g{B^4}{l^4}}}-\frac{v_2^2}{2g}$，
電流：$I_2^{\;}=\frac{2}{3}I=\frac{Blv}{4R}$，
功率：$P=I_2^24R=\frac{{{B^2}{l^2}{v^2}}}{4R}=\frac{{16{m^2}{g^2}{R^{\;}}}}{{9{B^2}{l^2}}}$；
（3）設在時刻t導體ab的速度為v，
由牛頓第二定律得：F+mg-$B\frac{3Blv}{8R}l$=ma，
由速度公式得：v=v₃+at，
解得：F=$\frac{{3{B^2}{l^2}（{v_3}+at）}}{8R}$+ma-mg；
答：（1）導體棒ab從AH處下落$\frac{l}{4}$時的加速度大小為g-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{1}}{3mR}$；
（2）BG與CF之間的距離h為$\frac{32{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{9g{B}^{4}{l}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$，R₂上的電功率P₂為$\frac{16{m}^{2}{g}^{2}R}{9{B}^{2}{l}^{2}}$；
（3）所加外力F隨時間變化的關系式為：F=$\frac{{3{B^2}{l^2}（{v_3}+at）}}{8R}$+ma-mg．

點評 本題是一道電磁感應與力學、電學相結合的綜合題，導體棒運動過程較復雜，有一定難度，分析清楚導體棒的運動過程是正確解題的關鍵，應用E=BLv、歐姆定律、安培力公式、平衡條件與牛頓第二定律、運動學公式即可解題．