Question

【題目】如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，整個(gè)區(qū)域內(nèi)有垂直于坐標(biāo)系平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸左側(cè)還有場(chǎng)強(qiáng)為E=、方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)。在第一象限內(nèi)有一傾角為30°的光滑斜面。某時(shí)刻從斜面上的P點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的小球。該小球剛好在O點(diǎn)處離開斜面，已知重力加速度為g。

（1）求O、P兩點(diǎn)間的距離L；

（2）求小球離y軸的最遠(yuǎn)距離xm和小球從O點(diǎn)至第一次打到y軸的時(shí)間t；

（3）如果在y軸上有一平板，使得小球打到平板后反彈的速度大小變?yōu)樵瓉淼?/span>（水平分速度反向，豎直分速度方向不變）。試求小球離開O點(diǎn)后第N次打到y軸時(shí)的縱坐標(biāo)yN以及最終打在y軸上的坐標(biāo)ym。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3） ，

【解析】（1）小球在斜面上運(yùn)動(dòng)過程中受力如圖1所示

小球在O點(diǎn)離開斜面，即洛倫茲力大小等于重力在垂直斜面方向的分力大小，有：

qvB=mgcos 30°

此運(yùn)動(dòng)過程中，v2=2aL，a=gsin 30°

解得L=

（2）根據(jù)洛倫茲力方向，由左手定則可知小球帶正電，小球在電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力大小為F=qE=mg、方向豎直向上，與重力平衡，所以小球在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。軌跡如圖2所示

由qvB=

可得r==

由幾何關(guān)系有，小球離y軸的最遠(yuǎn)距離xm=(1+sin 30°)r=

運(yùn)動(dòng)周期T==

由幾何關(guān)系可知，t==

（3）由幾何關(guān)系可知，小球第一次打在y軸上時(shí)的坐標(biāo)為y1=

第1次小球被平板反彈后，小球的速度方向與水平方向成30°斜向左下方，再次在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖3所示

速度大小變?yōu)樵瓉淼?/span>，由r=可知，半徑變?yōu)?/span>r1=

第2次打在y軸上時(shí)的坐標(biāo)為y2=+

第N次打在y軸上時(shí)的坐標(biāo)為yN=++…+

由等比數(shù)列求和公式可得yN==

當(dāng)N→∞時(shí)，得到最終打在y軸上的坐標(biāo)ym=