Question

4．如圖所示，軌道ABCD的AB段為一半徑R=1.8m的光滑1/4圓形軌道，BC段為高為h=5m的豎直軌道，CD段為水平軌道．一質(zhì)量為 1kg的小球由A點(diǎn)從靜止開始下滑，離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，求：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)受到的支持力的大��；
（2）小球離開B點(diǎn)后，在CD軌道上的落地點(diǎn)到C的水平距離；
（3）如果在 BCD 軌道上放置一個(gè)傾角45°的斜面（如圖中虛線所示），將小球從 A、B 之間任一高度從靜止釋放，寫出小球從離開 B 點(diǎn)到第一次碰撞前在空中的飛行時(shí)間 t 與釋放點(diǎn)距 B 點(diǎn)的高度 H 的關(guān)系式．（g取 10m/s²）

Answer 1

分析 （1）小球在B點(diǎn)時(shí)做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對小球受力分析，由向心力的公式可以求得小球受到的支持力的大小，在根據(jù)牛頓第三定律可以知道對圓形軌道的壓力大小；
（2）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得水平距離；
（3）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得水平距離，與斜面的長度相對比，可以知道，小球?qū)⒙湓谛泵嫔匣蛘咚�平面上，再根�?jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得

解答 解：小球由A到B得過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知$mgR=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
解得v_B=6m/s
在B點(diǎn)，有$N-mg=\frac{{mv}_{B}^{2}}{R}$
解得N=30N
（2）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向有h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得t=1s
所以水平方向的距離x=vt=6m
（3）若小球恰落到E點(diǎn)，設(shè)小球離開B點(diǎn)的速度為v₀，則
水平方向$\frac{h}{tan45°}={v}_{0}t$
豎直方向$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得v₀=5m/s
設(shè)此時(shí)對應(yīng)的高度H₀，$mg{H}_{0}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$，解得H₀=1.25m
當(dāng)R≥H≥H₀時(shí)，小球落到水平面上，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=1s$
當(dāng)H＜H₀時(shí)，小球落到斜面上，有$mgH=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，x=vt，$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，y=xtan45°
聯(lián)立解得$t=2\sqrt{\frac{2H}{g}}$
即1.8m≥H≥1.25m時(shí)，t=1s、
H＜1.25m時(shí)$t=2\sqrt{\frac{2H}{g}}$
答：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)受到的支持力的大小為30N；
（2）小球離開B點(diǎn)后，在CD軌道上的落地點(diǎn)到C的水平距離為6m；
（3）如果在 BCD 軌道上放置一個(gè)傾角45°的斜面（如圖中虛線所示），將小球從 A、B 之間任一高度從靜止釋放，小球從離開 B 點(diǎn)到第一次碰撞前在空中的飛行時(shí)間 t 與釋放點(diǎn)距 B 點(diǎn)的高度 H 的關(guān)系式為1.8m≥H≥1.25m時(shí)，t=1s；或者H＜1.25m時(shí)$t=2\sqrt{\frac{2H}{g}}$

點(diǎn)評 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為在水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)，和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)來求解．