Question

【題目】如圖，光滑水平桌面上有一個(gè)矩形區(qū)域abcd，bc長(zhǎng)度為2L，cd長(zhǎng)度為1.5L，e、f分別為ad、bc的中點(diǎn)。efcd區(qū)域存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；質(zhì)量為m、電荷量為+q的絕緣小球A靜止在磁場(chǎng)中f點(diǎn)。abfe區(qū)域存在沿bf方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為；質(zhì)量為km的不帶電絕緣小球P，以大小為的初速度沿bf方向運(yùn)動(dòng)。P與A發(fā)生彈性碰撞，A的電量保持不變，P、A均可視為質(zhì)點(diǎn)。

（1）若A從ed邊離開(kāi)磁場(chǎng)，求k的最大值；

（2）若A從ed邊中點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，求k的可能值和A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。

Answer 1

【答案】（1）1（2）或 ；A球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間

【解析】

（1）令P初速度，設(shè)P、A碰后的速度分別為vP和vA，

由動(dòng)量守恒定律：

由機(jī)械能守恒定律：

可得：，可知k值越大，vA越大；

設(shè)A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R， 由牛頓第二定律：

可得：，可知vA越大，R越大；即，k值越大，R越大；

如圖1，當(dāng)A的軌跡與cd相切時(shí)，R為最大值，

可得：，求得k的最大值為

（2）令z點(diǎn)為ed邊的中點(diǎn)，分類(lèi)討論如下：

（I）A球在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)一次從z點(diǎn)就離開(kāi)磁場(chǎng)，如圖2有

解得： 可得：

（II）由圖可知A球能從z點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)要滿足，則A球在磁場(chǎng)中還可能經(jīng)歷一次半圓運(yùn)動(dòng)后回到電場(chǎng)，再被電場(chǎng)加速后又進(jìn)入磁場(chǎng)，最終從z點(diǎn)離開(kāi)。令電場(chǎng)強(qiáng)度；如圖3和如圖4，由幾何關(guān)系有：

解得：或

可得：或

當(dāng)時(shí)，，由于

當(dāng)時(shí)，，由于

此類(lèi)情形取符合題意要求，即

綜合（I）、（II）可得A球能從z點(diǎn)離開(kāi)的k的可能值為： 或

A球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期為

當(dāng)k=時(shí)，如圖4，A球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間