Question

3．如圖所示為通過彈射器研究輕彈簧的彈性勢能的實驗裝置．半徑為R的光滑$\frac{3}{4}$圓形軌道豎直固定于光滑水平面上并與水平地面相切于B點，彈射器固定于A處．某次實驗過程中彈射器射出一質量為m的小球，恰能沿圓軌道內側到達最髙點C，然后從軌道D處（D與圓心等高）下落至水平面．忽略空氣阻力，取重力加速度為g．下列說法正確的是（　�。�

• A． 小球運動至最低點B時對軌道壓力為6mg
• B． 小球從D處下落至水平面的時間小于$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． 小球落至水平面時的動能為2mgR
• D． 釋放小球前彈射器的彈性勢能為$\frac{5mgR}{2}$

Answer 1

分析 小球從被彈出后機械能守恒；在最高點應保證重力充當向心力，由臨界條件可求得最高點的速度；由機械能守恒可求得B點的壓力、小球到達水平面的動能及開始時的機械能．

解答 解：A、小球恰好通過最高點，由mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，解得v_C=$\sqrt{gR}$；小球由B到C過程中，由機械能守恒定律得：mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$； 小球在B點時，由牛頓第二定律有：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$；聯(lián)立解得，F(xiàn)=6mg，由牛頓第三定律可得，小球運動至最低點B時對軌道壓力為6mg．故A正確．
B、小球從C到D的過程中機械能守恒，則有mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$；聯(lián)立解得 v_D=$\sqrt{3gR}$；
小球由D到地面做勻加速直線運動；若做自由落體運動時，由R=$\frac{1}{2}$gt²可得，t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；而現(xiàn)在小球在D點有初速度，故時間小于$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；故B正確；
C、小球從C到地面過程，由機械能守恒得：E_k-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mg•2R，解得，小球落至水平面時的動能為 E_K=2.5mgR；故C錯誤；
D、小球彈出后的機械能等于彈射器的彈性勢能；故彈性勢能為 E=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{5mgR}{2}$；故D正確；
故選：ABD

點評 本題考查功能關系及機械能守恒定律，要注意明確系統(tǒng)只有重力及彈簧的彈力做功，故機械能守恒；正確選擇初末狀態(tài)即可順利求解．