Question

7．如圖所示是一個(gè)半徑為R的輪子，它繞固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸O順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，兩側(cè)各有一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的豎直桿MO和NQ，它們都固定在天花板上M、N處（如圖所示）．兩輕桿上距軸為a處各固定一寬度為b的摩擦塊（上下厚度不計(jì)）．摩擦塊與輪子間動(dòng)摩擦因數(shù)都是μ（μ＜$\frac{a}$），不計(jì)桿與摩擦塊的重力．為使輪子剎停，在兩桿下端P、Q之間用輕繩懸掛一重物．剛好使三根細(xì)繩之間夾角都相等．
（1）有同學(xué)認(rèn)為：“由于該裝置高度對(duì)稱，所以兩邊摩擦力的大小是相等的”．你認(rèn)為這位同學(xué)的看法是否正確？為什么（請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明你的理由）？
（2）設(shè)AP和AQ上的拉力的大小都是F，則左、右兩側(cè)摩擦力作功之比是多少？
（3）為使輪子在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)能停下，規(guī)定制動(dòng)力矩的大小為M．求此時(shí)在下方懸掛物體的重力G是多大？

Answer 1

分析 （1）（2）分別對(duì)左右兩側(cè)的桿進(jìn)行受力分析，結(jié)合力矩平衡即可求出左右兩側(cè)受到的摩擦力，從而判斷出兩側(cè)的摩擦力是否相等；再結(jié)合功的計(jì)算公式即可求出左、右兩側(cè)摩擦力作功之比．
（3）對(duì)輪子進(jìn)行受力分析，求出輪子受到的摩擦力的力矩的表達(dá)式，然后結(jié)合（2）中的摩擦力的表達(dá)式即可求出．

解答 解：（1）這位同學(xué)的看法是不正確，因?yàn)槭芰Γɑ蛄�矩）情況并不對(duì)稱． 
（2）對(duì)左側(cè)的桿進(jìn)行受力分析如圖，摩擦力與拉力產(chǎn)生逆時(shí)針方向的力矩，支持力N1產(chǎn)生順時(shí)針方向的力矩，根據(jù)力矩平衡得：μN(yùn)₁b+Fcos30°L=N₁a
代入數(shù)據(jù)解得：${N}_{1}=\frac{FLcos30°}{a-μb}$

同理對(duì)右側(cè)的桿進(jìn)行受力分析如圖，摩擦力與拉力產(chǎn)生順時(shí)針方向的力矩，支持力N1產(chǎn)生逆時(shí)針方向的力矩，根據(jù)力矩平衡得：μN(yùn)₂b+N₂a=FLcos30°
代入數(shù)據(jù)得：${N}_{2}=\frac{FLcos30°}{a+μb}$
輪子停下的過程中，兩側(cè)的路程相同，根據(jù)W=FS
所以：$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}=\frac{{f}_{1}}{{f}_{2}}=\frac{μ{N}_{1}}{μ{N}_{2}}=\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}=\frac{a+μb}{a-μb}$
（3）由題圖可知，輪子制動(dòng)的過程中，受到的兩側(cè)的摩擦力的方向都與輪子邊緣的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向相反，所以輪子制動(dòng)的力矩的方向與輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相反，制動(dòng)的力矩大小：
$M={f_1}R+{f_2}R=μ{N_1}R+μ{N_2}R=μR（\frac{{FLcos{{30}^0}}}{a-μb}+\frac{{FLcos{{30}^0}}}{a+μb}）$
聯(lián)立解得：$G=F=\frac{M}{{μRLcos{{30}^0}（\frac{FL}{a-μb}+\frac{F}{a+μb}）}}=\frac{{M（{a^2}-{μ^2}{b^2}）}}{{μRLcos{{30}^0}•2a}}=\frac{{M（{a^2}-{μ^2}{b^2}）}}{{\sqrt{3}μRLa}}$
答：（1）這位同學(xué)的看法是不正確，因?yàn)槭芰Γɑ蛄�矩）情況并不對(duì)稱；
（2）設(shè)AP和AQ上的拉力的大小都是F，則左、右兩側(cè)摩擦力作功之比是$\frac{a+μb}{a-μb}$；
（3）為使輪子在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)能停下，規(guī)定制動(dòng)力矩的大小為M．此時(shí)在下方懸掛物體的重力G是$\frac{M（{a}^{2}-{μ}^{2}^{2}）}{\sqrt{3}μRLa}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查力矩的平衡問題，其中后兩問所使用的力矩平衡應(yīng)分別對(duì)應(yīng)桿的力矩平衡和輪子的力矩平衡，兩個(gè)問題不能混肴．