Question

18．如圖（a）所示，平行長(zhǎng)直導(dǎo)軌MN、PQ水平放置，兩導(dǎo)軌間距L=0.5m，導(dǎo)軌左端M、P間接有一阻值R=0.2Ω的定值電阻，導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量m=0.1kg，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，導(dǎo)體棒垂直于導(dǎo)軌放在距離左端為d=1.0m處，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒始終接觸良好，電阻均忽略不計(jì)．整個(gè)裝置處在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，t=0時(shí)刻，磁場(chǎng)方向豎直向下，此后，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化如圖（b）所示，不計(jì)感應(yīng)電流磁場(chǎng)的影響．取重力加速度g=10m/s²．

（1）求t=0時(shí)棒所受到的安培力F₀；
（2）分析前3s時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況并求前3s內(nèi)棒所受的摩擦力f隨時(shí)間t變化的關(guān)系式；
（3）若t=3s時(shí)，突然使ab棒獲得向右的速度v₀=8m/s，同時(shí)垂直棒施加一方向水平、大小可變化的外力F，使棒的加速度大小恒為a=4m/s²、方向向左．求從t=3s到t=4s的時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）由圖b的斜率求出$\frac{△B}{△t}$，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求解感應(yīng)電流的大小，即可由F=BIL求得安培力的大小．
（2）前3s內(nèi)ab棒不動(dòng)，在水平方向受安培力和摩擦力，二力平衡，由平衡條件和安培力公式求解．
（3）t=3s后，ab棒做勻變速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出t=3s到t=4s的時(shí)間內(nèi)棒通過(guò)的位移，再由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式結(jié)合求解電量．

解答 解：（1）t=0時(shí)棒的速度為零，故回路中只有感生電動(dòng)勢(shì)，由圖b知：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{0.2}{2}$=0.1T/s
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$Ld=0.1×0.5×1.0 V=0.05 V
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{0.05}{0.2}$ A=0.25 A
可得t=0時(shí)棒所受到的安培力：F₀=B₀IL=0.025 N
（2）ab棒與導(dǎo)軌間的最大靜摩擦力：f_m=μmg=0.1×0.1×10 N=0.1 N＞F₀=0.025 N
所以在t=0時(shí)刻棒靜止不動(dòng)，加速度為零，在0～3 s內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度B都小于B₀，棒所受的安培力都小于最大靜摩擦力，故前3 s內(nèi)導(dǎo)體棒靜止不動(dòng)，電流恒為I=0.25 A
在0～3 s內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為：B=B₀-kt=0.2-0.1t（T）
因?qū)�體棒靜止不動(dòng)，ab棒在水平方向受安培力和摩擦力，二力平衡，則有：
f=BIL=（B₀-kt）IL=（0.2-0.1t）×0.25×0.5=0.0125（2-t）（N）（t＜3 s）
（3）3～4 s內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B₂=0.1 T，ab棒做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，△t₁=4 s-3 s=1 s
設(shè)t=4 s時(shí)棒的速度為v，第4 s內(nèi)的位移為x，則：
 v=v₀-a△t₁=4 m/s
 x=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$△t₁=6 m
在這段時(shí)間內(nèi)的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△{t}_{1}}$
通過(guò)電阻的電荷量為：q=$\overline{I}$△t₁=$\frac{\overline{E}}{R}$△t₁=$\frac{{B}_{2}Lx}{R}$=1.5 C．
答：
（1）t=0時(shí)棒所受到的安培力F₀是0.025N．　
（2）摩擦力f隨時(shí)間t變化的關(guān)系式是f=0.0125（2-t）（N）（t＜3 s）．　
（3）從t=3s到t=4s的時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻的電荷量q是1.5 C．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要正確分析導(dǎo)體棒的受力情況和能量轉(zhuǎn)化的情況，熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，感應(yīng)電量與磁通量變化的關(guān)系，正確把握功和能的關(guān)系．