Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的平面內(nèi)，有一個(gè)半徑為R，圓心O1坐標(biāo)為（0，﹣3R）的圓形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1、方向垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；有一對(duì)平行電極板垂直于x軸且關(guān)于y軸對(duì)稱放置，極板AB、CD的長(zhǎng)度和兩板間距均為2R，極板的兩個(gè)端點(diǎn)B和D位于x軸上，AB板帶正電，CD板帶負(fù)電。在第一和第二象限內(nèi)（包括x軸和正y軸上）有垂直于坐標(biāo)平面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2（未定知）的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。另有一塊長(zhǎng)為R厚度不計(jì)的收集板EF位于x軸上2R～3R的區(qū)間上�，F(xiàn)有一坐標(biāo)在（R，﹣3R）的電子源能在坐標(biāo)平面內(nèi)向圓形區(qū)域磁場(chǎng)內(nèi)連續(xù)不斷發(fā)射速率均為、方向與y軸正方向夾角為θ（θ可在0～180°內(nèi)變化）的電子。已知電子的電荷量大小為e，質(zhì)量為m，不計(jì)電子重力作用，不計(jì)電子之間的相互作用力，兩極板之間的電場(chǎng)看成勻強(qiáng)電場(chǎng)且忽略極板的邊緣效應(yīng)。電子若打在AB極板上則即刻被導(dǎo)走且不改變?cè)�電�?chǎng)分布；若電子能經(jīng)過第一、二象限的磁場(chǎng)后打在收集板上也即刻被吸收（不考慮收集板的存在對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的影響）；若電子沒有打在收集板上則不考慮后續(xù)的運(yùn)動(dòng)。求：

（1）若從θ=60°發(fā)射的電子能夠經(jīng)過原點(diǎn)O，則兩極板間電壓為多大？

（2）要使第（1）問中的電子能被收集板吸收，則B2應(yīng)為多大？

（3）若B2=B1，兩極板間的電壓為第（1）問中的電壓，要使收集板的右端點(diǎn)F被電子擊中，則收集板繞左端點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度至少多大？（答案可用反三角函數(shù)表示，例如cosθ=，則θ可表示為arccos）

（4）若B2=B1，兩極板間的電壓大小可以從0開始調(diào)節(jié)（兩極板極性不變），則從哪些角度發(fā)射的電子可擊中收集板的右端點(diǎn)F。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）θ≤120°發(fā)射的電子可擊中收集板的右端點(diǎn)F

【解析】

根據(jù)洛倫茲力做向心力求得在圓形磁場(chǎng)區(qū)域的軌道半徑，即可由幾何關(guān)系求得進(jìn)入電場(chǎng)的位置和速度方向；再根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得加速度，即可得到電壓；根據(jù)電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求得軌道半徑范圍，即可根據(jù)洛倫茲力做向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度范圍；分析電子運(yùn)動(dòng)得到旋轉(zhuǎn)角度最小時(shí)對(duì)應(yīng)的情況，然后根據(jù)幾何關(guān)系求解；由幾何關(guān)系求得不同位置進(jìn)入y≥0區(qū)域的電子的軌道半徑，然后根據(jù)洛倫茲力做向心力得到速度范圍，即可根據(jù)電子的豎直分速度不變得到范圍，從而得到角度范圍。

（1）電子在圓心磁場(chǎng)區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度

洛倫茲力做向心力，故有：

解得軌道半徑：

根據(jù)幾何關(guān)系可得：電子離開圓心磁場(chǎng)時(shí)的速度方向豎直向上，那么，電子運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的軌跡如圖所示：

電子在極板間運(yùn)動(dòng)只受電場(chǎng)力作用，故電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，加速度

豎直位移為2R，水平位移為

故有：2R=v0t，

所以兩極板間電壓：

（2）由（1）可得：電子在O點(diǎn)時(shí)的水平分速度

故設(shè)電子在y≥0區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R2，則由幾何關(guān)系可得：電子再次經(jīng)過x軸的坐標(biāo)

故根據(jù)收集板位置，要使第（1）問中的電子能被收集板吸收，則有：；

再根據(jù)洛倫茲力做向心力可得：，所以，軌道半徑，磁場(chǎng)強(qiáng)度；

所以，；又有，所以，

（3）若B2=B1，則電子在y≥0區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

以θ=0發(fā)射的電子打在收集板右端點(diǎn)F時(shí)，收集板繞左端點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度γ最小；此時(shí)，電子進(jìn)入y≥0區(qū)域時(shí)的速度方向與x軸間的夾角，在x軸上的坐標(biāo)

設(shè)此時(shí)F的坐標(biāo)為（X，Y），則由幾何關(guān)系可得：，（X﹣2R）2+Y2=R2，；

所以，，， ；

（4）設(shè)電子進(jìn)入y≥0區(qū)域時(shí)的速度為v，到F的距離為2d，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r；則豎直分量為v0；

由幾何關(guān)系可得：

根據(jù)洛倫茲力做向心力可得：，所以，，故；

故從處離開電場(chǎng)的電子可以擊中收集板的右端點(diǎn)F；

又有兩極板間的電壓大小可以從0開始調(diào)節(jié)，電子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度豎直向上，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)向左偏轉(zhuǎn)；所以，離開圓形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的x軸坐標(biāo)在范圍內(nèi)的電阻可以擊中收集板的右端點(diǎn)F；根據(jù)電阻在圓形磁場(chǎng)區(qū)域的軌道半徑為R，由幾何關(guān)系可得：θ≤120°；