Question

20．假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體．已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，地球表面的重力加速度為g．一礦井深度為d，則礦井底部的重力加速度為（　　）

• A． 0
• B． 1-$\fracjjtfj5t{R}$
• C． g-$\frac{dg}{R}$
• D． （$\frac{R-d}{R}$）²g

Answer 1

分析 根據題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產生的加速度，礦井深度為d的井底的加速度相當于半徑為R-d的球體在其表面產生的加速度，根據地球質量分布均勻得到加速度的表達式，再根據半徑關系求解即可．

解答 解：令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g=$G\frac{M}{{R}^{2}}$，由于地球的質量為：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以重力加速度的表達式可寫成：
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$G\frac{ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}=\frac{4}{3}GρπR$．
根據題意有，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，固在深度為d的井底，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產生的萬有引力，故井底的重力加速度為：g′=$\frac{4}{3}Gρπ（R-d）$
所以有：$\frac{g′}{g}=\frac{\frac{4}{3}Gρπ（R-d）}{\frac{4}{3}GρπR}$=$\frac{R-d}{R}=1-\fracln1tfnt{R}$
所以選項B正確，ACD錯誤．
故選：B

點評 抓住在地球表面重力和萬有引力相等，在礦井底部，地球的重力和萬有引力相等，要注意在礦井底部所謂的地球的質量不是整個地球的質量而是半徑為（R-d）的球體的質量．