Question

12．河寬d=60m，水流速度v₁=3m/s，小船在靜水中的速度v₂=6m/s，問：
（1）要使它渡河的時間最短，則小船應如何渡河？最短時間是多少？
（2）要使它渡河的航程最短，則小船應如何渡河？最短的航程是多少？
（3）若水流速度變?yōu)関₃=10m/s，要使它渡河的航程最短，則小船應如何渡河？最短的航程是多少？

Answer 1

分析 （1）船航行時速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，當以靜水中的速度垂直河岸過河的時候渡河時間最短；
（2）由矢量合成的平行四邊形定則得知小船的合速度，小船實際以合速度做勻速直線運動，進而求得位移的大小；小船以最短距離過河時，則靜水中的速度斜著向上游，合速度垂直河岸；
（3）因為水流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達正對岸．當合速度的方向與靜水速的方向垂直時，合速度的方向與河岸的夾角最短，渡河航程最�。�

解答 解：（1）當以靜水中的速度垂直河岸過河的時候渡河時間最短，則知：t_min=$\fracm4z87vg{{v}_{c}}$=$\frac{60}{6}$s=10s 
   （2）小船以最短距離過河時，則靜水中的速度斜著向上游，合速度垂直河岸，設與河岸的夾角為θ，
    則由矢量合成的平行四邊形法則解三角形得：cosθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{3}{6}$，
    這時船頭與河水速度夾角為θ=60°；
    最短的航程是60m．
（3）因為水流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達正對岸．當合速度的方向與靜水速的方向垂直時，合速度的方向與河岸的夾角最短，渡河航程最小．
設此時靜水速的方向與河岸的夾角為θ，cosθ=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$=$\frac{6}{10}$=0.6，解得：θ=53°．
根據(jù)幾何關系，則有：$\fracohla9qs{s}$=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$，因此最短的航程是s=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$d=$\frac{10}{6}$×60=100m．
答：（1）船垂直河岸過河時間最短，且過河的最短時間為10s，；
（2）要小船以最短距離過河，開船方向與河水速度夾角為60°，最短航程是60m；
（3）若水流速度變?yōu)関₃=10m/s，要使它渡河的航程最短，則小船應偏向上游53°渡河，最短的航程是100m．

點評 小船過河問題屬于運動的合成問題，要明確分運動的等時性、獨立性，運用分解的思想，看過河時間只分析垂直河岸的速度，分析過河位移時，要分析合速度，注意當要最短位移過河時，要分清船速與水流速度的大小關系，是解題的關鍵．