Question

如圖所示，空間中有一處于豎直方向的圓柱形磁場區(qū)域，取圓柱的豎直軸線為x軸，原點為0,該豎直軸線也是空間磁場的旋轉(zhuǎn)對稱軸，且磁場大致指向：軸正方向，磁感應(yīng)強度沿x軸分量，式子中C、k為已知常數(shù)，且保證足夠大空間范圍內(nèi)B_x＞0。一個半徑為r的細(xì)線圈水平置于0處，其中心軸線與軸重合，線圈質(zhì)量為m，單位長度的電阻為。將線圈由口處靜止釋放，線圈下落過程中其軸線始終與x軸重合，當(dāng)線圈下降高度h時速度大小為v，不考慮線圈的自感和空氣阻力，重力加速度為g，求：

（1)線圈下落h過程中產(chǎn)生的熱量Q

（2）線圈下落h時感應(yīng)電流1的大小和方向；

(3)線圈最終的穩(wěn)定速度v_m的大小。

Answer 1

 (1)根據(jù)能量守恒定律得Q=mgh-mυ²                                       (3分)

(2)穿過線圈的磁通量Φ=πr²B_x=πr²(C-kx)                                    (1分)

設(shè)在極短的△t時間內(nèi)，線圈由x₁=h處下落到x₂=h+Δx處，則磁通量減少量

ΔΦ=Φ₁-Φ₂=πr²kΔx                                                     (1分)

據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=  =πr²k            (1分)

根據(jù)速度定義υ=                                                    (1分)

得 E=πr²kv                                                           (1分)

線圈總電阻R=2πrλ                                                    (1分)

根據(jù)閉合電路歐姆定律，線圈中感應(yīng)電流大小I=                   (2分)

根據(jù)楞次定律，線圈中感應(yīng)電流的方向為順時針方向(順著x軸正方向看)     (1分)

(3)設(shè)線圈所在處的磁感應(yīng)強度沿線圈半徑方向的分量為B_r，從線圈切割磁感線的角度可得

感應(yīng)電動勢大小  E = B_r·2πr·v                                          (2分)

得 B_r=                                                            (1分)

線圈所受安培力大小 F=B_rI ·2πr =                                  (2分)

當(dāng)線圈速度達到最大時，安培力和重力相等，即  =mg                (2分)

解得線圈最大速度  v_m=                                           (1分)