Question

1．在豎直平面內(nèi)有一由內(nèi)徑為r₁的光滑圓管彎曲而成的環(huán)形軌道，環(huán)形軌道半徑R遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于r₁，如圖所示，有一質(zhì)量為m的小球，直徑r₂略小于r₁，可在圓管中運動．在最低點應(yīng)給小球一個多大的初速度才能使小球在豎直環(huán)軌道內(nèi)恰能完成圓周運動？

Answer 1

分析 以小球為研究對象，小球通過最高點時，有2種情況：①小球與管下壁接觸，此時最小速度可為0，相當(dāng)于圓周運動的桿模型，由機(jī)械能守恒可求得最低點的速度；②小球與管上壁接觸，此時最小速度為重力提供向心力的速度，相當(dāng)于圓周運動的繩模型，由向心力公式和機(jī)械能守恒可求得最低點的速度．

解答 解：小球在內(nèi)徑比它的直徑略大的光滑圓管壁中完成圓周運動有兩種可能：
①到達(dá)最高點時只與管下壁接觸，此時最小速度可以為零．由慣性可完成下半周運動．
設(shè)這種情況下最低點的速度為v₀，
則小球從最低點到最高點的過程中機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg•2R$
所以：v₀=$2\sqrt{gR}$
②到達(dá)最高點時只與管上壁接觸，此時恰能完成圓周運動的條件為只有重力提供向心力，
設(shè)此時最高點的速度為v₁，最低點的速度為v₀′，
則由向心力公式得：mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
再由機(jī)械能守恒可得$\frac{1}{2}$mv₀′²-$\frac{1}{2}$mv₁²=mg2R，
結(jié)合以上兩式解得最低點速度為v₀′=$\sqrt{5gR}$．
答：在最低點速度為$2\sqrt{gR}$或者$\sqrt{5gR}$時才能使小球在豎直環(huán)軌道內(nèi)恰能完成圓周運動．

點評 本題設(shè)計巧妙，屬于創(chuàng)新題，實質(zhì)考查了圓周運動的兩種模型，繩模型與桿模型．球與管下壁接觸的臨界條件對應(yīng)桿模型，球與管上壁接觸的臨界條件對應(yīng)繩模型．應(yīng)熟記桿模型做圓周運動的最高點臨界速度為0，繩模型做圓周運動的最高點臨界速度為重力提供向心力時的速度．