Question

9．已知地球的半徑是R=6400km，地球表面處的重力加速度g=9.8m/s²，地球自轉的周期為T，由已知條件計算下面物理量：取$\sqrt{2}$=1.41
（1）求地球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度（保留三位有效數字）
（2）求同步地球衛(wèi)星離地面的高度（用g、R、T表示）
（3）已知地球周圍從距離球心r的位置到無窮遠的過程中，物體克服地球引力做功的公式為W=GMm/r，并且物體克服地球引力恰好脫離地球的發(fā)射速度叫做第二宇宙速度，試計算第二宇宙速度（保留三位有效數字）．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力以及萬有引力等于重力求出第一宇宙速度．
（2）根據萬有引力提供向心力，抓住自轉周期與同步衛(wèi)星的周期相同，求出同步地球衛(wèi)星離地面的高度．
（3）根據動能定理，結合第一宇宙速度的表達式求出第二宇宙速度．

解答 解：（1）當衛(wèi)星在地球表面附近運動行時，受地球的萬有引力提供向心力，即：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得衛(wèi)星運行速度為：${v}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$…①
又因為在不考慮地球的自轉，地球表面的重力和萬有引力相等，故有：mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
所以有GM=gR²…②
將 ②代入①可得：${v_1}=\sqrt{gR}=\sqrt{9.8×6400×{{10}^3}}m/s=7.90×{10^3}m/s$．
（2）同步衛(wèi)星運動地周期與地球自轉周期相同同步衛(wèi)星受到地球的萬有引力提供向心力，故有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
可得：h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$…③
將②代入③可得：$h=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（3）依題意知物體克服地球引力恰好脫離地球發(fā)射，初速度即第二宇宙速度設為v₂，由動能定理得：$0-\frac{1}{2}m{v_2}^2=-G\frac{Mm}{{{R^{\;}}}}$
可得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，
即：${v}_{2}=\sqrt{2}{v}_{1}=11.2×1{0}^{3}m/s$．
答：（1）地球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度為7.90×10³m/s；
（2）同步地球衛(wèi)星離地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（3）第二宇宙速度為11.2×10³m/s．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．