Question

4．設(shè)氫原子處于基態(tài)時電子的軌道半徑為r₁，動能為E_k1，處于第n能級時電子的軌道半徑為r_n，動能為E_kn，已知r_n=n²r₁，試用庫倫定律和牛頓運(yùn)動定律證明：E_kn=$\frac{{E}_{k1}}{{n}^{2}}$．

Answer 1

分析 通過電子在軌道上受庫侖引力作用做勻速圓周運(yùn)動，由庫侖定律和牛頓第二定律推導(dǎo)出電子的動能大小，從而得知 電子動能與量子數(shù)的關(guān)系．

解答 證明：電子在軌道上受庫侖引力作用做勻速圓周運(yùn)動，由庫侖定律和牛頓第二定律得，
$k\frac{{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
電子的動能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{k{e}^{2}}{2r}$∝$\frac{1}{r}$
又已知${r}_{n}={n}^{2}{r}_{1}$
得$\frac{{E}_{kn}}{{E}_{k1}}=\frac{{r}_{1}}{{r}_{n}}=\frac{1}{{n}^{2}}$，
即${E}_{kn}=\frac{{E}_{k1}}{{n}^{2}}$．
證畢．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道能級躍遷所滿足的規(guī)律，以及知道電子在軌道上運(yùn)動，靠庫侖引力提供向心力．