Question

16．如圖甲所示是游樂場中過山車的實物圖片，可將過山車的一部分運動簡化為圖乙的模型圖．模型圖中光滑圓形軌道的半徑R=8.0m，該光滑圓形軌道固定在傾角為θ=37°的斜軌道面上的Q點，圓形軌道的最高點A與傾斜軌道上的P點平齊，圓形軌道與斜軌道之間平滑連接．現(xiàn)使質(zhì)量為m=50kg的小車（視作質(zhì)點）從P點以一定的初速度v₀=12m/s沿斜面向下運動，不計空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小車恰好能通過圓形軌道的最高點A．
（1）小車在A點的速度為多大？
（2）小車在圓形軌道上運動時對軌道的最大壓力為多少？
（3）求斜軌道面與小車間的動摩擦因數(shù)為多大？

Answer 1

分析 （1）小車恰好能通過圓形軌道的最高點A處，軌道對小車的彈力為零，由重力提供小車圓周運動所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小車在A點的速度．
（2）根據(jù)動能定理或機械能守恒求出小車在軌道B點是的速度，再運用牛頓第二定律，通過支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛頓第三定律得到壓力．
（3）對P到A全過程運用動能定理，重力做功為零，根據(jù)幾何關系求出在斜面上的位移，通過動能定理求出動摩擦因數(shù)．

解答 解：（1）由于小車恰能通過A點，由重力提供小車圓周運動所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{gR}$=4$\sqrt{5}$ m/s．①
（2）如圖，小車經(jīng)軌道最低點D時對軌道壓力最大．設在D點軌道對小車的支持力為N
則有：N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$②
小車由D到A的運動過程機械能守恒
則有：2mgR=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$ ③
由①②③得：N=6mg．
由牛頓第三定律，在D點小車對軌道的壓力N′=N=6mg=3000N．
（3）設PQ距離為L，對小車由P到A的過程應用動能定理
得：-μmgLcos37°=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$④
由幾何關系：L=$\frac{R+Rcos37°}{sin37°}$⑤
由①④⑤得：μ=$\frac{1}{6}$．
答：
（1）小車在A點的速度為4$\sqrt{5}$m/s．
（2）小車在圓形軌道運動時對軌道的最大壓力為6mg．
（3）斜軌道面與小車間的動摩擦因數(shù)是$\frac{1}{6}$．

點評 本題綜合考查了牛頓第二定律和動能定理，關鍵是理清運動的過程，運用合適的規(guī)律進行求解．