Question

3．如圖所示，甲圖是一圓形光滑軌道，半徑為R，乙圖是一開口向下的拋物線光滑軌道，與y軸交點(diǎn)為拋物面的頂點(diǎn)．現(xiàn)同時(shí)將質(zhì)量為m的兩個(gè)相同的小球分別從兩軌道的頂點(diǎn)處由靜止釋放，在小球沿軌道運(yùn)動(dòng)直至落在水平面上的過程中，下列說法正確的是（已知重力加速度為g）（　�。�

• A． 甲圖中小球在軌道上下滑時(shí)加速度增大
• B． 甲圖中小球離開軌道時(shí)的速度為$\sqrt{2gR}$
• C． 乙圖中無論a、b取何值，小球一定能落到x=b的位置
• D． 兩小球落在同一水平面上的速度大小一定相等

Answer 1

分析 根據(jù)小球沿軌道運(yùn)動(dòng)切線方向的加速度和向心加速度的變化，結(jié)合平行四邊形定則得出甲圖小球在軌道上下滑時(shí)的加速度變化．當(dāng)小球離開軌道時(shí)，支持力為零，結(jié)合牛到第二定律和機(jī)械能守恒求出小球離開軌道時(shí)的速度．乙圖中小球一定能落到x=b的位置，落在x軸時(shí)有水平分速度．

解答 解：A、甲圖中小球在未離開軌道前做圓周運(yùn)動(dòng)，重力沿半徑方向的分力和支持力的合力提供向心力，速度增大，則向心加速度增大，由于重力沿切線方向的分力逐漸增大，則切向加速度增大，根據(jù)平行四邊形定則知，甲圖中小球在軌道上下滑時(shí)的加速度增大，故A正確．
B、甲球先沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，隨著速度的增大，所需要的向心力增大，當(dāng)軌道的支持力為零時(shí)球做離心運(yùn)動(dòng)，離開圓軌道后做斜下拋運(yùn)動(dòng)，不可能在x=R處．
設(shè)球離開圓軌道時(shí)半徑與豎直方向的夾角為α．由機(jī)械能守恒定律得：mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
在離開圓軌道的位置，有 mgcosα=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，聯(lián)立解得 cosα=$\frac{2}{3}$，v=$\sqrt{\frac{2gR}{3}}$，故B錯(cuò)誤．
C、乙圖軌道是拋物線，無論a，b取何值，小球一定能落到x=b的位置，故C正確．
D、根據(jù)動(dòng)能定理知，下降的高度不同，則兩小球落在同一水平面上的速度大小不同，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要分析兩球的運(yùn)動(dòng)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律和圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件分析，有一定的難度．