Question

【題目】如圖所示，兩根相距為L的光滑平行金屬導軌CD、EF固定在水平面內，并處在豎直向下的勻強磁場中，導軌足夠長且電阻不計。在導軌的左端接入阻值為R的定值電阻，將質量為m、電阻可忽略不計的金屬棒MN垂直放置在導軌上，可以認為MN棒的長度與導軌寬度相等，且金屬棒運動過程中始終與導軌垂直并接觸良好，不計空氣阻力。金屬棒MN以恒定速度v向右運動過程中，假設磁感應強度大小為B且保持不變，為了方便，可認為導體棒中的自由電荷為正電荷。

（1）請根據法拉第電磁感應定律，推導金屬棒MN中的感應電動勢E；

（2）在上述情景中，金屬棒MN相當于一個電源，這時的非靜電力與棒中自由電荷所受洛倫茲力有關。請根據電動勢的定義，推導金屬棒MN中的感應電動勢E。

（3）請在圖中畫出自由電荷所受洛倫茲力示意圖。我們知道，洛倫茲力對運動電荷不做功。那么，金屬棒MN中的自由電荷所受洛倫茲力是如何在能量轉化過程中起到作用的呢？請結合圖中自由電荷受洛倫茲力情況，通過計算分析說明。

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）見解析

【解析】

(1)先求出金屬棒MN向右滑行的位移,得到回路磁通量的變化量 ,再由法拉第電磁感應定律求得E的表達式;
(2)棒向右運動時,電子具有向右的分速度,受到沿棒向下的洛倫茲力，,棒中電子在洛倫茲力的作用下,電子從M移動到N的過程中,非靜電力做功,根據電動勢定義計算得出E.

（3）可以從微觀的角度求出水平和豎直方向上的洛倫茲力做功情況，在比較整個過程中做功的變化狀況。

（1）如圖所示，在一小段時間t內，金屬棒MN的位移

這個過程中線框的面積的變化量

穿過閉合電路的磁通量的變化量

根據法拉第電磁感應定律

解得

（2）如圖所示，棒向右運動時，正電荷具有向右的分速度，受到沿棒向上的洛倫茲力

，f1即非靜電力

在f的作用下，電子從N移動到M的過程中，非靜電力做功

根據電動勢定義

解得

（3）自由電荷受洛倫茲力如圖所示。

設自由電荷的電荷量為q，沿導體棒定向移動的速率為。

如圖所示，沿棒方向的洛倫茲力，做正功

垂直棒方向的洛倫茲力，做負功

所以，即導體棒中一個自由電荷所受的洛倫茲力做功為零。

做正功，將正電荷從N端搬運到M端，相當于電源中的非靜電力，宏觀上表現為“電動勢”，使電源的電能增加；做負功，宏觀上表現為安培力做負功，使機械能減少。大量自由電荷所受洛倫茲力做功的宏觀表現是將機械能轉化為等量的電能，在此過程中洛倫茲力通過兩個分力做功起到“傳遞”能量的作用。