Question

10．如圖所示，M、N為中心開有小孔的平行板電容器的兩極板，相距為D，其右側(cè)有一邊長為2a的正三角形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，在極板M、N之間加上電壓U后，M板電勢高于N板電勢．現(xiàn)有一帶正電的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為q，其重力和初速度均忽略不計(jì)，粒子從極板M的中央小孔S₁處射入電容器，穿過小孔S₂后從距三角形A點(diǎn)$\sqrt{3}$a的P處垂直AB方向進(jìn)入磁場，試求：
（1）粒子到達(dá)小孔S₂時的速度；
（2）若粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場后經(jīng)時間t從AP間離開磁場，求粒子的運(yùn)動半徑和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（3）若粒子能從AC間離開磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）粒子在加速電場中，電場力做功，由動能定理求出速度v，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求出所以時間．
（2）粒子從進(jìn)入磁場到從AD間離開，根據(jù)半徑公式，周期公式結(jié)合幾何關(guān)系即可求解；
（3）粒子從進(jìn)入磁場到從AC間離開，畫出運(yùn)動軌跡，找出臨界狀態(tài)，根據(jù)半徑公式結(jié)合幾何關(guān)系即可求解；

解答 解：（1）帶電粒子在電場中運(yùn)動時，由動能定理得，qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得粒子進(jìn)入磁場時的速度大小為v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）粒子的軌跡圖如圖所示，粒子從進(jìn)入磁場到AP間離開，由牛頓第二定律可得，$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
粒子在磁場中運(yùn)動的時間為t=$\frac{πR}{v}$，
由以上兩式可得軌道半徑R=$\frac{\sqrt{2qUm}}{πm}t$，
磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{πm}{qt}$．
（3）粒子從進(jìn)入磁場到從AC間離開，若粒子恰能到達(dá)BC邊界，如圖所示，設(shè)此時的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，根據(jù)幾何關(guān)系有此時粒子的軌道半徑為${R}_{1}=2asin60°=\sqrt{3}a$，
由牛頓第二定律可得，$q{vB}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
由以上兩式可得${B}_{1}=\frac{\sqrt{6qUm}}{3qa}$，
粒子從進(jìn)入磁場到從AC間離開，若粒子恰能到達(dá)AC邊界，如圖所示，設(shè)此時的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，
由牛頓第二定律可得，$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
由以上兩式解得${B}_{2}=\frac{（2+\sqrt{3}）\sqrt{2qUm}}{3qa}$．
綜上所述要使粒子能從AC間離開磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足：$\frac{\sqrt{6qUm}}{3qa}≤B≤\frac{（2+\sqrt{3}）\sqrt{2qUm}}{3qa}$．
答：（1）粒子到達(dá)小孔S₂時的速度為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）粒子的運(yùn)動半徑為$\frac{\sqrt{2qUm}}{πm}t$，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{πm}{qt}$．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足$\frac{\sqrt{6qUm}}{3qa}≤B≤\frac{（2+\sqrt{3}）\sqrt{2qUm}}{3qa}$．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動的問題，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動的軌跡，能根據(jù)半徑公式，周期公式結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度較大．