Question

【題目】如圖（1）所示，一根輕彈簧上端固定，下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的A，彈簧的勁度系數(shù)為k，用手豎直向上托起砝碼A，使砝碼A靜止于某一初始位置，此時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)，如圖（2）所示．現(xiàn)改變手對(duì)砝碼A的作用力，使A以某一加速度做豎直向下的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．已知砝碼A向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度的數(shù)值恰好等于在初始位置時(shí)突然撤去手的瞬時(shí)砝碼A加速度數(shù)值的一半．設(shè)在砝碼A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧始終未超過(guò)其彈性限度．若手對(duì)砝碼A的作用力未改變方向前，砝碼A向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的最大距離是S．則：

（1）砝碼A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度a=；
（2）通過(guò)距離S所用的時(shí)間t= ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）
【解析】解：設(shè)突然撤去手的瞬時(shí)，砝碼A向下運(yùn)動(dòng)的加速度為a．（1）設(shè)初始時(shí)刻彈簧的壓縮量為x，研究非砝碼A，由牛頓第二定律有：

kx+mg=ma

得：x=

由已知條件知，砝碼A向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度 a′= ，在手對(duì)砝碼A作用力的方向即將改變的瞬時(shí)，手對(duì)砝碼的作用力為零．

若a′≥g，則手對(duì)砝碼A的作用力為零時(shí)，彈簧長(zhǎng)度未超過(guò)原長(zhǎng)，設(shè)此時(shí)彈簧壓縮量為x′，有：

kx′+mg=ma′

可得：x′=

砝碼A向下運(yùn)動(dòng)的距離為：

S=x﹣x′= =

砝碼A向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為：

a′=

根據(jù)S= ，得砝碼A向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：

t= =

若 ＜a′＜g，則手對(duì)砝碼A的作用力為零時(shí)，彈簧長(zhǎng)度已超過(guò)原長(zhǎng)，設(shè)此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x″，有：

mg﹣kx″=ma′

得：x″=

有：S=x+x″= =

因此，此時(shí)砝碼A向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為：

a′=

時(shí)間仍為：t= =

故答案為：（1） ；（2） ．

突然撤去手的瞬時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律列式．設(shè)突然撤去手的瞬時(shí)，砝碼A向下運(yùn)動(dòng)的加速度為a，解決本題的關(guān)鍵是明確牛頓第二定律可研究某一狀態(tài)的加速度，要抓住題中隱含的臨界狀態(tài)：在手對(duì)砝碼A作用力的方向即將改變的瞬時(shí)，知道此時(shí)手對(duì)砝碼的作用力為零．要找出A運(yùn)動(dòng)的位移與彈簧形變量的關(guān)系．